Matematika

Hatványozás és négyzetgyök · Témazáró gyakorlás

Hatványozás és négyzetgyök – témazáró gyakorlás

Rendszerezd a témakör módszereit, majd oldd meg a vegyes feladatsort önállóan.

Értsd meg!

Mire készülj?

A témakör kulcslépései: Alkalmazd a pozitív egész kitevős hatvány fogalmát és azonosságait. Értsd a nulladik és negatív kitevőt, és a kiterjesztés feltételeit. Egyszerűsíts egész kitevős kifejezéseket a feltételek megtartásával. Írj nagy és kis számokat szabályos normálalakban, és végezz műveleteket velük. Használd a négyzetgyök definícióját, szorzási és osztási szabályát. Alakíts át gyökös kifejezéseket, és különböztesd meg az algebrai és geometriai eredményt. Gyakorold az összevonást, a gyöktelenítést és a geometriai alkalmazásokat. Válaszd ki önállóan a megfelelő hatvány- vagy gyökazonosságot.

Négyzetszám és négyzetgyök: terület és oldal

A 4×4 egységnégyzetből álló négyzet területe 16. Az oldal a terület pozitív négyzetgyöke: √16=4. Az x²=16 egyenletnek viszont két gyöke van: ±4.
A 4×4 egységnégyzetből álló négyzet területe 16. Az oldal a terület pozitív négyzetgyöke: √16=4. Az x²=16 egyenletnek viszont két gyöke van: ±4.

Hogyan használd a feladatsort?

Először oldd meg a feladatokat segítség és megoldásnézés nélkül. Írd le a füzetedbe a számolásokat és az indoklásokat. Az ellenőrzés után nézd át a részletes magyarázatot, és jelöld meg, melyik definíció vagy lépés okozott nehézséget. A témakör leckéihez a legördülő listával visszatérhetsz. A pontszám önellenőrzés, a leírt gondolatmenet minőségét külön is vizsgáld.

A kettő hatványai darabszámmal szemléltetve

Balra nyolc, jobbra tizenhat egység látható. A hatványozás ismételt szorzás, nem az alap és kitevő szorzata. A 2³ ezért 8, nem 6.
Balra nyolc, jobbra tizenhat egység látható. A hatványozás ismételt szorzás, nem az alap és kitevő szorzata. A 2³ ezért 8, nem 6.

Amit érdemes megjegyezni

  • aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  • (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
  • (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
  • aman = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0
  • a⁰ = 1, a ≠ 0
  • a⁻ⁿ = 1an, a ≠ 0
  • (ab)⁻ⁿ = (ba)ⁿ, a,b ≠ 0
  • aman = aᵐ⁻ⁿ
  • (ab)⁻ⁿ = a⁻ⁿb⁻ⁿ, a,b ≠ 0
  • Normálalak: a · 10ⁿ, 1 ≤ |a| < 10

Kidolgozott példák

1. példa

Hatványok szorzata

Egyszerűsítsd: 2³ · 2⁵.

  1. Az alap ugyanaz: 2.
  2. A kitevők összege 3 + 5 = 8.
  3. A kifejezés 2⁸ = 256.
  4. Nem a két kitevőt szorozzuk össze.

2. példa

Pontos gyökös eredmény

√32 + √18 = ?

  1. √32 = 4√2 és √18 = 3√2.
  2. Az együtthatók összege 7.
  3. Az eredmény 7√2.
  4. Tizedes közelítés csak akkor kell, ha a feladat kéri.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 12

1. feladat

2⁻² · 2723 értéke?

Megoldás és magyarázat

2^(−2 + 7 − 3) = 2² = 4.

2. feladat

(52)⁻² értéke?

Megoldás és magyarázat

A reciprok négyzete (25)² = 425.

3. feladat

√80 − √45 = k√5. Mennyi k?

Megoldás és magyarázat

4√5 − 3√5 = √5.

4. feladat

(√13 + √4)(√13 − √4) értéke?

Megoldás és magyarázat

13 − 4 = 9.

5. feladat

0,00000032 normálalakjában mi a kitevő?

Megoldás és magyarázat

3,2 · 10⁻⁷.

6. feladat

√(x²) értéke x = −12 esetén?

Megoldás és magyarázat

|−12| = 12.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alap

3³·3² értéke?

Megoldás és magyarázat

Azonos alap: kitevő 3+2=5; 3⁵=243.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alap

3634 értéke?

Megoldás és magyarázat

6−4=2, így 3²=9.

9. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

(3²)³ értéke?

Megoldás és magyarázat

2·3=6, ezért 3⁶=729.

10. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

(-3)³ értéke?

Megoldás és magyarázat

A három negatív tényező szorzata negatív: −27.

11. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

3⁰+3² értéke?

Megoldás és magyarázat

Nem nulla alap esetén 3⁰=1, tehát 1+9=10.

12. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

2−2·2522 értéke?

Megoldás és magyarázat

A kitevő −2+5−2=1, tehát 2¹=2.