Matematika

Hatványozás és négyzetgyök · 19. lecke

Hatványozás és gyökvonás – tudáspróba

Válaszd ki önállóan a megfelelő hatvány- vagy gyökazonosságot.

Értsd meg!

A szabály kiválasztása

Először döntsd el, szorzatot, hányadost, hatvány hatványát vagy összeget látsz. Azonos alapú hatványoknál a kitevőkkel dolgozunk, gyökös összegnél az egyszerűsített gyökös részeket hasonlítjuk össze. A külső megjelenés megtévesztő lehet: a √a és az a² más műveletet jelöl.

Négyzetszám és négyzetgyök: terület és oldal

A 3×3 egységnégyzetből álló négyzet területe 9. Az oldal a terület pozitív négyzetgyöke: √9=3. Az x²=9 egyenletnek viszont két gyöke van: ±3.
A 3×3 egységnégyzetből álló négyzet területe 9. Az oldal a terület pozitív négyzetgyöke: √9=3. Az x²=9 egyenletnek viszont két gyöke van: ±3.

Értelmezés és előjel

Negatív kitevőnél az alap nem lehet nulla. Négyzetgyök alatt valós számok között nemnegatív kifejezés kell. A √(x²) = |x| összefüggés minden valós x-re igaz, míg a √(x²) = x csak x ≥ 0 esetén. Az előjel megállapításával sok hibás eredmény azonnal kiszűrhető.

Összetett ellenőrzés

A normálalak, mértékegység és pontos gyökös alak gyakran együtt szerepel. A végén ellenőrizd a nagyságrendet, a kitevőt és azt, hogy szükséges-e kerekítés. Számológéppel ellenőrizhetsz, de a szabály alkalmazását leírva mutasd meg. Egyenletben mindegyik lehetséges gyököt vizsgáld.

A kettő hatványai darabszámmal szemléltetve

Balra nyolc, jobbra tizenhat egység látható. A hatványozás ismételt szorzás, nem az alap és kitevő szorzata. A 2³ ezért 8, nem 6.
Balra nyolc, jobbra tizenhat egység látható. A hatványozás ismételt szorzás, nem az alap és kitevő szorzata. A 2³ ezért 8, nem 6.

Amit érdemes megjegyezni

  • √(x²) = |x|
  • Nullával osztani nem lehet
  • Normálalakban 1 ≤ |a| < 10

Kidolgozott példák

1. példa

Vegyes hatványozás

2−2 · 2522 = ?

  1. A számláló 2³.
  2. Osztás után 2¹ marad.
  3. Az eredmény 2.
  4. A kitevők összege és különbsége: −2 + 5 − 2 = 1.

2. példa

Pontos gyökös eredmény

√32 + √18 = ?

  1. √32 = 4√2 és √18 = 3√2.
  2. Az együtthatók összege 7.
  3. Az eredmény 7√2.
  4. Tizedes közelítés csak akkor kell, ha a feladat kéri.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 12

1. feladat

3−1 · 3432 értéke?

Megoldás és magyarázat

3^(−1 + 4 − 2) = 3.

2. feladat

√75 − √12 = k√3. Mennyi k?

Megoldás és magyarázat

5√3 − 2√3 = 3√3.

3. feladat

8 · 1052 · 102 értéke?

Megoldás és magyarázat

4 · 10³ = 4000.

4. feladat

√(a²) értéke a = −9 esetén?

Megoldás és magyarázat

|−9| = 9.

5. feladat

Igaz vagy hamis: √9 + √16 = √25.

Megoldás és magyarázat

A bal oldal 3 + 4 = 7, a jobb oldal 5.

6. feladat

Egy négyzet átlója 6√2 cm. Hány cm az oldala?

Megoldás és magyarázat

Az átló a√2, tehát a = 6.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alap

2³·2² értéke?

Megoldás és magyarázat

Azonos alap: kitevő 3+2=5; 2⁵=32.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alap

2624 értéke?

Megoldás és magyarázat

6−4=2, így 2²=4.

9. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

(2²)³ értéke?

Megoldás és magyarázat

2·3=6, ezért 2⁶=64.

10. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

(-2)³ értéke?

Megoldás és magyarázat

A három negatív tényező szorzata negatív: −8.

11. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

2⁰+2² értéke?

Megoldás és magyarázat

Nem nulla alap esetén 2⁰=1, tehát 1+4=5.

12. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

2−2·2522 értéke?

Megoldás és magyarázat

A kitevő −2+5−2=1, tehát 2¹=2.