Matematika

Hatványozás és négyzetgyök · 18. lecke

Gyökös kifejezések – gyakorlás

Gyakorold az összevonást, a gyöktelenítést és a geometriai alkalmazásokat.

Értsd meg!

Egyszerűsíts, majd vonj össze

Többféle gyökös tagot előbb a lehető legegyszerűbb alakra hozunk. Például √45 és √20 első ránézésre különböző, de 3√5 és 2√5 alakban összevonható. Az összevonásnál a gyökös rész változatlan, az együtthatók adódnak össze vagy vonódnak ki.

Négyzetszám és négyzetgyök: terület és oldal

A 2×2 egységnégyzetből álló négyzet területe 4. Az oldal a terület pozitív négyzetgyöke: √4=2. Az x²=4 egyenletnek viszont két gyöke van: ±2.
A 2×2 egységnégyzetből álló négyzet területe 4. Az oldal a terület pozitív négyzetgyöke: √4=2. Az x²=4 egyenletnek viszont két gyöke van: ±2.

Gyöktelenítés

A √a nevezőt √a-val bővítve a nevező a lesz, ha a > 0. Kéttagú nevezőnél a konjugált kifejezéssel bővítünk: √a + √b párja √a − √b. A szorzat a − b. A bővítés nem változtatja meg a tört értékét, ha ugyanazzal a nem nulla számmal szorozzuk a számlálót és a nevezőt.

Pitagorasz és terület

Derékszögű háromszögben az átfogó négyzete a befogók négyzeteinek összege. A gyökös oldalhosszak négyzete gyakran egész szám, így a számolás egyszerűsödik. Téglalap vagy háromszög területét a megfelelő képlettel számítsuk; a mértékegység négyzetes, és a geometriai hosszúság pozitív.

Negatív kitevők: egymást követő felezések

2⁰=1; 2⁻¹=1/2; 2⁻²=1/4; 2⁻³=1/8. A kitevő eggyel csökkentése felezi az értéket. A negatív kitevő nem negatív számot, hanem reciprokot jelent.
2⁰=1; 2⁻¹=12; 2⁻²=14; 2⁻³=18. A kitevő eggyel csökkentése felezi az értéket. A negatív kitevő nem negatív számot, hanem reciprokot jelent.

Amit érdemes megjegyezni

  • √45 + √20 = 5√5
  • Derékszögű háromszög: c² = a² + b²

Kidolgozott példák

1. példa

Összevonás

Egyszerűsítsd: √48 − √12 + √75.

  1. √48 = 4√3; √12 = 2√3; √75 = 5√3.
  2. Az együtthatók: 4 − 2 + 5 = 7.
  3. Az eredmény 7√3.
  4. A gyök alatti 3 változatlan marad.

2. példa

Konjugálttal bővítés

Egyszerűsítsd: 1√5 − 2.

  1. A bővítő tényező √5 + 2.
  2. A nevező (√5 − 2)(√5 + 2) = 5 − 4 = 1.
  3. Az eredmény √5 + 2.
  4. Az eredeti nevező nem nulla, ezért a bővítés megengedett.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

√27 + √12 = k√3. Mennyi k?

Megoldás és magyarázat

3√3 + 2√3 = 5√3.

2. feladat

√8 · √50 értéke?

Megoldás és magyarázat

√400 = 20.

3. feladat

Derékszögű háromszög befogói √7 és 3. Mennyi az átfogó?

Megoldás és magyarázat

c = √(7 + 9) = 4.

4. feladat

(√6 + √2)² = 8 + k√3. Mennyi k?

Megoldás és magyarázat

A vegyes tag 2√12 = 4√3.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

1√64 értéke?

Megoldás és magyarázat

√64=8, tehát a tört 18.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

1√2 nevezőjét gyöktelenítve A√2 alakot kapunk. Mennyi A?

Megoldás és magyarázat

1√2=√22: a számlálót és a nevezőt is √2-vel szorozzuk.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

1√5−2=A+B√5. Add meg A; B-t!

Megoldás és magyarázat

A konjugálttal szorzunk: √5+25−4=2+√5.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

√512−√128 alakja C√2. Mennyi C?

Megoldás és magyarázat

√512=16√2; √128=8√2; a különbség 8√2.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: √(2+3)=√2+√3.

Megoldás és magyarázat

A gyökvonás összeadásra nem bontható szét. A jobb oldal négyzete 5+2√6, a bal oldalé 5.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

√192·√3 értéke?

Megoldás és magyarázat

√192·√3=√576=24.