Matematika

Hatványozás és négyzetgyök · 17. lecke

Négyzetgyökös feladatok

Alakíts át gyökös kifejezéseket, és különböztesd meg az algebrai és geometriai eredményt.

Értsd meg!

Pontos érték és közelítés

A √2, √3 és sok más gyök irracionális szám. Pontos értékét gyökjellel írjuk, és csak szükség esetén kerekítjük. A túl korai kerekítés több lépés után jelentős hibát okozhat. Összeadásnál azonos gyökös tagok vonhatók össze: 3√2 + 5√2 = 8√2; √2 + √3 nem ilyen alak.

Négyzetszám és négyzetgyök: terület és oldal

A 5×5 egységnégyzetből álló négyzet területe 25. Az oldal a terület pozitív négyzetgyöke: √25=5. Az x²=25 egyenletnek viszont két gyöke van: ±5.
A 5×5 egységnégyzetből álló négyzet területe 25. Az oldal a terület pozitív négyzetgyöke: √25=5. Az x²=25 egyenletnek viszont két gyöke van: ±5.

Nevezetes azonosságok gyökökkel

A (√a ± √b)² kifejezésben a vegyes tag ±2√(ab). A különbség és összeg szorzata a − b. Ezek a szabályok ugyanazok a nevezetes azonosságok, mint betűs kifejezéseknél, a valós gyökök feltételeit azonban meg kell tartani. A gyökös nevezőt megfelelő bővítéssel gyökteleníthetjük.

Geometriai megoldások

Ha egy négyzet területe T > 0, oldala √T; hosszúságnál csak a pozitív érték értelmes. Ha x² = T egyenletet oldunk meg a valós számok között, a negatív gyök is megoldás. Szöveges feladatban ezért a számolás után mindig értelmezzük az eredményt.

Negatív kitevők: egymást követő felezések

2⁰=1; 2⁻¹=1/2; 2⁻²=1/4; 2⁻³=1/8. A kitevő eggyel csökkentése felezi az értéket. A negatív kitevő nem negatív számot, hanem reciprokot jelent.
2⁰=1; 2⁻¹=12; 2⁻²=14; 2⁻³=18. A kitevő eggyel csökkentése felezi az értéket. A negatív kitevő nem negatív számot, hanem reciprokot jelent.

Amit érdemes megjegyezni

  • (√a + √b)² = a + b + 2√(ab)
  • (√a − √b)(√a + √b) = a − b
  • 1√a = √aa, a > 0

Kidolgozott példák

1. példa

Gyökös szorzat

(√11 − √3)(√11 + √3) = ?

  1. Alkalmazzuk (u − v)(u + v) = u² − v²-t.
  2. u² = 11, v² = 3.
  3. Az eredmény 11 − 3 = 8.
  4. Nincs szükség a gyökök kerekítésére.

2. példa

Két különböző kérdés

Egy négyzet területe 81 cm². Oldd meg külön az x² = 81 egyenletet is!

  1. A négyzet oldala √81 = 9 cm.
  2. Az egyenlet megoldásai 9 és −9.
  3. A negatív szám nem lehet oldalhossz.
  4. Mindig a kérdés dönti el, mely eredmények fogadhatók el.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

(√7 − √2)(√7 + √2) értéke?

Megoldás és magyarázat

7 − 2 = 5.

2. feladat

3√5 + 2√5 együtthatója √5 előtt?

Megoldás és magyarázat

Az azonos gyökös tagok együtthatóit összeadjuk.

3. feladat

x² = 64 valós megoldásai? Pontosvesszővel válaszd el!

Megoldás és magyarázat

Mind a 8, mind a −8 négyzete 64.

4. feladat

Egy négyzet területe 50 cm². Oldala k√2 cm. Mennyi k?

Megoldás és magyarázat

√50 = √(25 · 2) = 5√2.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

√441 értéke?

Megoldás és magyarázat

441=(21)², tehát a főgyök 21.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

√(49100) értéke?

Megoldás és magyarázat

√49√100=710.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

√588 egyszerűsítve C√3. Mennyi C?

Megoldás és magyarázat

588=196·3, és √196=14.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

√((-7)²) értéke?

Megoldás és magyarázat

√x²=|x|; itt |−7|=7.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

√49·√100 értéke?

Megoldás és magyarázat

7·10=70.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Az x²=49 egyenlet összes valós megoldása?

Megoldás és magyarázat

A két szám 7 és −7 négyzete is 49. A főgyök és az egyenletmegoldás különbözik.