Matematika

Függvénytranszformációk · Témazáró gyakorlás

Függvénytranszformációk – témazáró gyakorlás

Rendszerezd a témakör módszereit, majd oldd meg a vegyes feladatsort önállóan.

Értsd meg!

Mire készülj?

A témakör kulcslépései: Írd fel a változó mennyiségek kapcsolatát függvényként, megfelelő tartománnyal. Jellemezd az alapparabolát és eltolt változatait. Olvasd le és alkalmazd a vízszintes és függőleges eltolásokat. Vizsgáld a függőleges nyújtást, zsugorítást és tükrözést. Állíts össze és értelmezz több egymás utáni transzformációt. Kapcsold össze az általános és a csúcsalakot. Rajzolj pontosan csúcsból, szimmetriából és jellegzetes pontokból. Használd a másodfokú függvényt terület-, bevétel- és pályamodellekben. Jellemezz önállóan transzformált függvényeket, és figyelj a tartományra.

Parabola eltolása és csúcspontja

A kék alapparabola csúcsa (0;0), a zöld grafikoné (2;−3). Az x helyén álló x−2 két egységgel jobbra, a kívül álló −3 három egységgel lefelé tol. A szimmetriatengely x=2.
A kék alapparabola csúcsa (0;0), a zöld grafikoné (2;−3). Az x helyén álló x−2 két egységgel jobbra, a kívül álló −3 három egységgel lefelé tol. A szimmetriatengely x=2.

Hogyan használd a feladatsort?

Először oldd meg a feladatokat segítség és megoldásnézés nélkül. Írd le a füzetedbe a számolásokat és az indoklásokat. Az ellenőrzés után nézd át a részletes magyarázatot, és jelöld meg, melyik definíció vagy lépés okozott nehézséget. A témakör leckéihez a legördülő listával visszatérhetsz. A pontszám önellenőrzés, a leírt gondolatmenet minőségét külön is vizsgáld.

A parabola meredekségének változása

Az f(x)=ax² függvényben nagyobb pozitív a azonos x mellett nagyobb y értéket ad. A csúcs nem mozdul el. Az a=2 grafikon keskenyebbnek, az a=0,5 grafikon szélesebbnek látszik.
Az f(x)=ax² függvényben nagyobb pozitív a azonos x mellett nagyobb y értéket ad. A csúcs nem mozdul el. Az a=2 grafikon keskenyebbnek, az a=0,5 grafikon szélesebbnek látszik.

Amit érdemes megjegyezni

  • Téglalap területe: T(x) = x(s − x), ha az oldalak összege s
  • Szélsőértékhely: bemenet; szélsőérték: kimenet
  • f(x) = x²; csúcs: (0; 0)
  • x² ≥ 0 minden valós x-re
  • f(x) + k: függőleges eltolás k-val
  • f(x − h): vízszintes eltolás h-val
  • (x − h)² + k csúcsa: (h; k)
  • g(x) = af(x): a kimenetek a-szorosai
  • a > 0: felfelé; a < 0: lefelé nyíló ax²
  • |a| > 1: függőleges nyújtás

Kidolgozott példák

1. példa

Kerítés és terület

40 m kerítésből téglalapot készítünk. Írd fel a területet az egyik oldal függvényében!

  1. 2x + 2y = 40, ezért y = 20 − x.
  2. T(x) = x(20 − x), ahol 0 < x < 20.
  3. T(x) = −(x − 10)² + 100.
  4. A legnagyobb terület 100 m², 10 m-es oldalaknál.

2. példa

Nyílt végpont

f(x) = x² a [0; 3) tartományon.

  1. Minimuma 0, mert x = 0 megengedett.
  2. A kimenetek 0 és 9 közé esnek.
  3. A 9 nem érhető el, ezért nincs maximum.
  4. Az értékkészlet [0; 9).

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 12

1. feladat

3(x + 2)² − 6 minimumhelye?

Megoldás és magyarázat

A négyzet x = −2-nél nulla.

2. feladat

−(x − 4)² + 16 zérushelyei?

Megoldás és magyarázat

(x − 4)² = 16 → x = 0 vagy 8.

3. feladat

|x − 6| + 2 minimuma?

Megoldás és magyarázat

Az abszolútérték legkisebb értéke 0.

4. feladat

√(x + 3) legkisebb megengedett bemenete?

Megoldás és magyarázat

x + 3 ≥ 0.

5. feladat

x² − 6x + 5 minimuma?

Megoldás és magyarázat

(x − 3)² − 4.

6. feladat

x² a [1; 4] tartományon. Mennyi a maximum?

Megoldás és magyarázat

A függvény itt nő, ezért x = 4-nél 16.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alap

f(x)=2(x−6)²−9. Mennyi f(8)?

Megoldás és magyarázat

f(8)=2·2²−9=-1.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alap

f(x)=(x−6)²+9. Add meg a csúcspontot x; y sorrendben!

Megoldás és magyarázat

A négyzet x=6-nál nulla, ezért a csúcs (6; 9).

9. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

f(x)=−2(x+6)²+9. Mennyi a maximumérték?

Megoldás és magyarázat

A negatív négyzet legfeljebb nulla; a maximum 9, x=−6-nál.

10. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

f(x)=(x−6)²−4. Add meg a két zérushelyet!

Megoldás és magyarázat

(x−6)²=4 → x−6=±2.

11. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

g(x)=√(x−6). Mi az értelmezési tartomány legkisebb eleme?

Megoldás és magyarázat

x−6≥0 → x≥6.

12. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

f(x)=3(x−6)²+9. Mennyi f(5)−f(7)?

Megoldás és magyarázat

A két x érték a szimmetriatengelytől egyenlő távol van; mindkét függvényérték 3+k.