Matematika

Másodfokú egyenletek · 29. lecke

Teljes négyzetté kiegészítés

Ismerd fel és állítsd elő a kéttagú kifejezés négyzetét.

Értsd meg!

Másodfokú kifejezés

Az ax² + bx + c polinom akkor másodfokú, ha a ≠ 0. A főegyüttható a, az elsőfokú tag együtthatója b, a konstans c. Az egyenletet ax² + bx + c = 0 alakra rendezzük, mielőtt az együtthatókat kiolvassuk. A tag hiánya nulla együtthatót jelent.

Teljes négyzet: a két téglalap és a saroknégyzet

Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.
Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.

A hiányzó négyzet

Az (x + u)² = x² + 2ux + u² azonosság szerint az elsőfokú tag együtthatójának felét kell négyzetre emelni. x² + px mellé ezért (p2)² kell a teljes négyzethez. Ha ezt hozzáadjuk, ugyanannyit ki is vonunk, hogy az eredeti kifejezés értéke ne változzon.

Nem egységnyi főegyüttható

Ha a ≠ 1, először a-t emeljük ki a változós tagokból, majd a zárójelen belül végezzük a kiegészítést. A külső tényező az ott hozzáadott és levont tagokra is hat. A csúcsalak felfedi a szélsőértéket, és később az egyenletmegoldást is egyszerűsíti. A visszaszorzás jó ellenőrzési módszer.

Parabola eltolása és csúcspontja

A kék alapparabola csúcsa (0;0), a zöld grafikoné (2;−3). Az x helyén álló x−2 két egységgel jobbra, a kívül álló −3 három egységgel lefelé tol. A szimmetriatengely x=2.
A kék alapparabola csúcsa (0;0), a zöld grafikoné (2;−3). Az x helyén álló x−2 két egységgel jobbra, a kívül álló −3 három egységgel lefelé tol. A szimmetriatengely x=2.

Amit érdemes megjegyezni

  • (x + u)² = x² + 2ux + u²
  • x² + px = (x + p2)² − p24

Kidolgozott példák

1. példa

Kiegészítés

Írd csúcsalakba: x² + 12x + 20.

  1. Az elsőfokú együttható fele 6.
  2. x² + 12x + 36 = (x + 6)².
  3. A 36 hozzáadása után 36-ot kivonunk: (x + 6)² − 16.
  4. Kifejtve x² + 12x + 36 − 16 = x² + 12x + 20.

2. példa

Külső tényező

Alakítsd át: 3x² − 18x + 5.

  1. 3(x² − 6x) + 5.
  2. A belső kifejezés (x − 3)² − 9.
  3. 3(x − 3)² − 27 + 5 = 3(x − 3)² − 22.
  4. A kivont 9-et is megszoroztuk 3-mal.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

Mennyit kell x² + 14x-hez hozzáadni, hogy teljes négyzet legyen?

Megoldás és magyarázat

(142)² = 49.

2. feladat

x² − 8x + c teljes négyzet. Mennyi c?

Megoldás és magyarázat

(x − 4)² = x² − 8x + 16.

3. feladat

x² + 6x + 2 = (x + 3)² + k. Mennyi k?

Megoldás és magyarázat

A négyzet konstansa 9; 2 − 9 = −7.

4. feladat

2x² + 8x + 1 = 2(x + 2)² + k. Mennyi k?

Megoldás és magyarázat

2(x + 2)² = 2x² + 8x + 8, ezért k = −7.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

x²−14x+59=(x−h)²+k. Add meg h; k-t!

Megoldás és magyarázat

(x−7)²=x²−14x+49; a fennmaradó tag 10.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

x²+20x teljes négyzetté egészítéséhez milyen számot kell hozzáadni?

Megoldás és magyarázat

(202)²=100, így (x+10)² keletkezik.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

f(x)=x²−14x+59. Mennyi a legkisebb értéke?

Megoldás és magyarázat

f(x)=(x−7)²+10; a négyzet minimuma 0.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

f(x)=−(x−7)²+10. Hol van a maximum? Csak az x-et add meg!

Megoldás és magyarázat

A négyzet x=7-nál nulla; itt f=10.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

(x−7)²=100. Melyek a megoldások?

Megoldás és magyarázat

x−7=±10, így x=-3 vagy 17.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: x²+14x=(x+7)².

Megoldás és magyarázat

A jobb oldalon további 49 tag is keletkezik; ezt ki kell vonni.