Matematika

Másodfokú egyenletek · 30. lecke

Teljes négyzetté kiegészítés alkalmazása

Oldj meg másodfokú egyenletet, és keresd meg a függvény zérushelyeit csúcsalakból.

Értsd meg!

Négyzetes egyenlet

A teljes négyzetté alakítás után (x − h)² = r alakot keresünk. Ha r < 0, nincs valós megoldás. Ha r = 0, x = h az egyetlen megoldás. Ha r > 0, x − h = √r vagy −√r. A két lehetőséget a négyzet azon tulajdonsága adja, hogy egy szám és ellentettje azonos négyzetű.

Teljes négyzet: a két téglalap és a saroknégyzet

Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.
Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.

Két előjel kezelése

A ± jel két külön számolást rövidít: x = h + √r és x = h − √r. Ne veszítsd el a negatív ágat. Ugyanakkor a √r önmagában továbbra is nemnegatív főgyök. Tört vagy irracionális eredmény is elfogadható pontos alakban, ha a feladat nem kér közelítést.

Grafikon és egyenlet

Az f(x) = a(x − h)² + k zérushelyeit ugyanígy kapjuk: (x − h)² = −ka. A grafikon tengelyére szimmetrikusan helyezkednek el. A csúcs és az x tengely viszonya megjósolja, van-e 0, 1 vagy 2 zérushely. Az algebrai megoldás pontos koordinátát ad.

Parabola eltolása és csúcspontja

A kék alapparabola csúcsa (0;0), a zöld grafikoné (2;−3). Az x helyén álló x−2 két egységgel jobbra, a kívül álló −3 három egységgel lefelé tol. A szimmetriatengely x=2.
A kék alapparabola csúcsa (0;0), a zöld grafikoné (2;−3). Az x helyén álló x−2 két egységgel jobbra, a kívül álló −3 három egységgel lefelé tol. A szimmetriatengely x=2.

Amit érdemes megjegyezni

  • (x − h)² = r → x = h ± √r, ha r ≥ 0
  • r < 0 esetén nincs valós megoldás

Nézd meg, próbáld ki!

Függvénylabor

Változtasd a paramétereket! Figyeld az alapfüggvényt (szürke) és az átalakított grafikont (kék).

1 · (x − (0))² + (0)

-8-8-4-404488xy

A rajzolt ablak: −9 ≤ x ≤ 9 és −10 ≤ y ≤ 10. A görbe az ablakon túl is folytatódhat. Az értelmezési tartomány az összes valós szám.

Kidolgozott példák

1. példa

Két megoldás

Oldd meg: x² − 8x + 7 = 0.

  1. (x − 4)² − 9 = 0.
  2. (x − 4)² = 9, ezért x − 4 = ±3.
  3. x = 7 vagy x = 1.
  4. Mindkét érték az eredeti egyenletet teljesíti.

2. példa

Megoldás nélküli eset

Oldd meg: x² + 4x + 8 = 0.

  1. (x + 2)² + 4 = 0.
  2. (x + 2)² = −4.
  3. Valós szám négyzete nemnegatív.
  4. Ezért nincs valós megoldás.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

x² − 10x + 16 = 0 megoldásai?

Megoldás és magyarázat

(x − 5)² = 9 → x = 5 ±3.

2. feladat

x² + 6x + 9 = 0 megoldása?

Megoldás és magyarázat

(x + 3)² = 0 → x = −3.

3. feladat

x² − 2x + 5 = 0. Van valós megoldás? Írd: nincs!

Megoldás és magyarázat

(x − 1)² = −4, ami valós számok között lehetetlen.

4. feladat

(x − 1)² = 25 megoldásai?

Megoldás és magyarázat

x − 1 = ±5 → x = −4 vagy 6.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

x²−16x+75=(x−h)²+k. Add meg h; k-t!

Megoldás és magyarázat

(x−8)²=x²−16x+64; a fennmaradó tag 11.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

x²+22x teljes négyzetté egészítéséhez milyen számot kell hozzáadni?

Megoldás és magyarázat

(222)²=121, így (x+11)² keletkezik.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

f(x)=x²−16x+75. Mennyi a legkisebb értéke?

Megoldás és magyarázat

f(x)=(x−8)²+11; a négyzet minimuma 0.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

f(x)=−(x−8)²+11. Hol van a maximum? Csak az x-et add meg!

Megoldás és magyarázat

A négyzet x=8-nál nulla; itt f=11.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

(x−8)²=121. Melyek a megoldások?

Megoldás és magyarázat

x−8=±11, így x=-3 vagy 19.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: x²+16x=(x+8)².

Megoldás és magyarázat

A jobb oldalon további 64 tag is keletkezik; ezt ki kell vonni.