Matematika

Másodfokú egyenletek · 31. lecke

A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Ismerd a képlet eredetét, feltételeit és használatának sorrendjét.

Értsd meg!

Rendezés és együtthatók

A képlet ax² + bx + c = 0 alakban használható, ahol a ≠ 0. Először bontsd fel a zárójeleket, vond össze a tagokat, és vidd az egészet egyik oldalra. Ezután írd ki külön a,b,c értékét előjellel együtt. A −b és b² számításakor különösen fontosak a zárójelek.

Diszkrimináns és az x tengellyel való metszés

Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.
Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.

A képlet levezetése

A teljes négyzetté kiegészítés általános alakja: 4a-val szorozva 4a²x² + 4abx + 4ac = 0. Mindkét oldalhoz b²-t hozzáadva és rendezve (2ax + b)² = b² − 4ac. A jobb oldalt D-vel jelöljük. Ha D nemnegatív, a két előjelű gyökvonás és a 2a-val osztás adja a megoldóképletet.

Diszkrimináns és ellenőrzés

D > 0 esetén két különböző valós gyök van, D = 0 esetén egy kétszeres gyök, D < 0 esetén nincs valós gyök. A képletben az egész −b ± √D számlálót osztjuk 2a-val. Az eredményt eredeti egyenletbe helyettesítve ellenőrizzük; kerekítés nélkül ez biztosabb.

Teljes négyzet: a két téglalap és a saroknégyzet

Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.
Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.

Amit érdemes megjegyezni

  • D = b² − 4ac
  • x₁,₂ = −b ± √D2a, a ≠ 0, D ≥ 0

Kidolgozott példák

1. példa

Képlet használata

Oldd meg: 2x² − 7x + 3 = 0.

  1. a = 2, b = −7, c = 3.
  2. D = 49 − 24 = 25.
  3. x = 7 ±54 → x₁ = 3, x₂ = 0,5.
  4. Ellenőrzés: 18 − 21 + 3 = 0 és 0,5 − 3,5 + 3 = 0.

2. példa

Kétszeres gyök

Oldd meg: 4x² + 12x + 9 = 0.

  1. a = 4, b = 12, c = 9.
  2. D = 144 − 144 = 0.
  3. x = −128 = −1,5.
  4. A kifejezés (2x + 3)², így ugyanazt a gyököt kaptuk.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

x² − 5x + 4 = 0 diszkriminánsa?

Megoldás és magyarázat

D = 25 − 16 = 9.

2. feladat

3x² − 12x = 0 megoldásai?

Megoldás és magyarázat

3x(x − 4) = 0. A képlet is ezt adja.

3. feladat

x² + 2x + 1 = 0 megoldása?

Megoldás és magyarázat

D = 0; x = −22 = −1.

4. feladat

2x² + 2x + 5 = 0. Van valós megoldás? Írd: nincs!

Megoldás és magyarázat

D = 4 − 40 = −36.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: x²−7x+10=0.

Megoldás és magyarázat

(x−2)(x−5)=0; ezért x=2 vagy x=5.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: 2x²−14x+20=0.

Megoldás és magyarázat

Kettővel osztva x²−7x+10=0. A gyökök 2, 5.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Oldd meg: (x−2)²=25.

Megoldás és magyarázat

x−2=±5; a két gyök -3 és 7.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

x²−7x+10=0 esetén mennyi a diszkrimináns?

Megoldás és magyarázat

D=7²−4·10=9=9.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Az x²−7x+10=0 gyökeinek összege és szorzata? Összeg; szorzat.

Megoldás és magyarázat

Viète szerint −ba=7, ca=10.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Hány valós megoldása van (x−2)²+5=0-nak?

Megoldás és magyarázat

A négyzet nemnegatív, 5>0, ezért az összeg nem nulla.