Másodfokú egyenletek · 32. lecke
Rendezz összetett egyenleteket, és válassz egyszerű módszert, ha lehetséges.
Zárójeles alakból nem olvassuk ki közvetlenül az a,b,c értékét. A nevezetes azonosságot helyesen kell kifejteni, különösen a vegyes tagot. A két oldal különbségéből kapjuk a nulla jobb oldalú polinomot. A megoldóképlet csak erre a rendezett alakra alkalmazható.
Ha c = 0, kiemelhetjük x-et: ax² + bx = x(ax + b). Egy szorzat akkor nulla, ha legalább egyik tényezője nulla. Ha b = 0, x² = − formára rendezhetünk, majd gyökvonást használunk. A megoldóképlet általános, de nem minden esetben a legrövidebb út.
A szorzattá alakítás utólag ellenőrizhető a gyökökkel: a(x − x₁)(x − x₂) alakban a főegyütthatót meg kell tartani. A gyökök összege −, szorzata ; ez hasznos ellenőrzés, és nem helyettesíti a kikötések vizsgálatát. Másodfokú egyenletnél irracionális gyökök is természetesek.
1. példa
Oldd meg: (x − 2)² = 3x + 4.
2. példa
Oldd meg: 3x² + x − 2 = 0.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
(x + 1)² = 5x + 1 megoldásai?
x² + 2x + 1 = 5x + 1 → x(x − 3) = 0.
2x² − 8 = 0 megoldásai?
x² = 4 → x = ±2.
2x² − 5x − 3 = 0 megoldásai?
D = 49; x = .
x² − 7x + 10 = 0 gyökeinek összege?
A gyökök 2 és 5; összegük − = 7.
Oldd meg: x²−9x+18=0.
(x−3)(x−6)=0; ezért x=3 vagy x=6.
Oldd meg: 2x²−18x+36=0.
Kettővel osztva x²−9x+18=0. A gyökök 3, 6.
Oldd meg: (x−3)²=36.
x−3=±6; a két gyök -3 és 9.
x²−9x+18=0 esetén mennyi a diszkrimináns?
D=9²−4·18=9=9.
Az x²−9x+18=0 gyökeinek összege és szorzata? Összeg; szorzat.
Viète szerint −=9, =18.
Hány valós megoldása van (x−3)²+6=0-nak?
A négyzet nemnegatív, 6>0, ezért az összeg nem nulla.