Függvénytranszformációk · 28. lecke
Jellemezz önállóan transzformált függvényeket, és figyelj a tartományra.
Írd fel a megengedett bemeneteket, az értékkészletet, a tengelymetszeteket és a szélsőértékeket. Csúcsalaknál előbb a csúcspontot keresd. A zérushelyeket egyenlettel ellenőrizd. A monotonitást intervallumokkal add meg, ne csak azt írd, hogy a függvény nő vagy csökken.
Parabolánál a csúcs (h; k) alapján f(x) = a(x − h)² + k alakot kapunk. Egy további, csúcstól eltérő pont segítségével kiszámítható a. Abszolútérték-függvénynél hasonlóan a töréspont és egy további pont segít. A függvénycsalád felismerése nélkül pusztán két pont nem határoz meg általános függvényt.
Az értékkészletet nem szabad automatikusan a teljes parabola alapján megadni, ha a bemenet egy intervallumra korlátozott. Nyílt végpontnál az ott felvett szélső érték nem feltétlenül érhető el. A minimum/maximum létezése és az alsó/felső korlát fogalma különbözik. A gyakorlófeladatokban először keresd meg a csúcsot és a végpontokat.
Változtasd a paramétereket! Figyeld az alapfüggvényt (szürke) és az átalakított grafikont (kék).
1 · (x − (0))² + (0)
A rajzolt ablak: −9 ≤ x ≤ 9 és −10 ≤ y ≤ 10. A görbe az ablakon túl is folytatódhat. Az értelmezési tartomány az összes valós szám.
1. példa
A parabola csúcsa (1; −2), és átmegy (3; 6)-on.
2. példa
f(x) = x² a [0; 3) tartományon.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
2(x − 3)² − 8 zérushelyei?
(x − 3)² = 4 → x = 1 vagy 5.
Parabola csúcsa (2; 1), átmegy (3; 4)-en. Mennyi a?
4 = a · 1 + 1 → a = 3.
x² a [−2; 3] intervallumon. Mennyi a maximum?
A végpontok közül x = 3 adja a nagyobb kimenetet.
|x + 4| − 2 minimumhelye?
Az abszolútérték x = −4-nél nulla.
√(x − 5) + 2 legkisebb kimenete?
x ≥ 5, a gyök minimuma 0, így a minimum 2.
Igaz vagy hamis: x²-nek a (0; 1) intervallumon van maximuma.
Minden megengedett x² kisebb 1-nél; az 1 nem érhető el.
f(x)=2(x−5)²−8. Mennyi f(7)?
f(7)=2·2²−8=0.
f(x)=(x−5)²+8. Add meg a csúcspontot x; y sorrendben!
A négyzet x=5-nál nulla, ezért a csúcs (5; 8).
f(x)=−2(x+5)²+8. Mennyi a maximumérték?
A negatív négyzet legfeljebb nulla; a maximum 8, x=−5-nál.
f(x)=(x−5)²−4. Add meg a két zérushelyet!
(x−5)²=4 → x−5=±2.
g(x)=√(x−5). Mi az értelmezési tartomány legkisebb eleme?
x−5≥0 → x≥5.
f(x)=3(x−5)²+8. Mennyi f(4)−f(6)?
A két x érték a szimmetriatengelytől egyenlő távol van; mindkét függvényérték 3+k.