Függvénytranszformációk · 27. lecke
Használd a másodfokú függvényt terület-, bevétel- és pályamodellekben.
A szélsőérték-feladatban azt keressük, melyik megengedett bemenet adja a legnagyobb vagy legkisebb kimenetet. Írd fel a függvényt, majd alakítsd csúcsalakba. A csúcshely csak akkor megoldás, ha beleesik a megadott tartományba. Zárt intervallumnál a végpontokat is ellenőrizni kell.
A mennyiség sokszor egész értékű, míg a függvényt valós számokra könnyebb vizsgálni. Ha a csúcshely nem egész, az egész tartományon a szomszédos egész értékek között kell összehasonlítani. Bevétel nem azonos nyereséggel: a nyereséghez a költséget is le kell vonni. A modell jelentése az együtthatóktól függ.
Egy lefelé nyíló parabolaív leírhat egyszerű magasságmodellt. A zérushelyek földet érési helyet vagy időt jelenthetnek. A teljes algebrai grafikon nem mindig fizikai pálya: a negatív időt vagy talaj alatti magasságot a helyzet kizárhatja. A válaszban külön nevezd meg a maximumhely és magasság mértékegységét.
Változtasd a paramétereket! Figyeld az alapfüggvényt (szürke) és az átalakított grafikont (kék).
1 · (x − (0))² + (0)
A rajzolt ablak: −9 ≤ x ≤ 9 és −10 ≤ y ≤ 10. A görbe az ablakon túl is folytatódhat. Az értelmezési tartomány az összes valós szám.
1. példa
B(n) = n(2400 − 40n), 0 ≤ n ≤ 60.
2. példa
h(t) = −5(t − 2)² + 20, 0 ≤ t ≤ 4.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
T(x) = x(18 − x) maximális értéke?
T(x) = −(x − 9)² + 81.
B(n) = −10n² + 800n. Mennyi a maximumhely?
− = − = 40.
h(t) = −2(t − 3)² + 18. Mennyi a maximum?
A négyzet a 3. időpontban nulla.
f(x) = −(x − 5)² + 25 a [0; 3] intervallumon. Mennyi a maximum?
A csúcs nincs a tartományban; itt nő, így f(3) = 21.
f(x)=2(x−4)²−7. Mennyi f(6)?
f(6)=2·2²−7=1.
f(x)=(x−4)²+7. Add meg a csúcspontot x; y sorrendben!
A négyzet x=4-nál nulla, ezért a csúcs (4; 7).
f(x)=−2(x+4)²+7. Mennyi a maximumérték?
A negatív négyzet legfeljebb nulla; a maximum 7, x=−4-nál.
f(x)=(x−4)²−4. Add meg a két zérushelyet!
(x−4)²=4 → x−4=±2.
g(x)=√(x−4). Mi az értelmezési tartomány legkisebb eleme?
x−4≥0 → x≥4.
f(x)=3(x−4)²+7. Mennyi f(3)−f(5)?
A két x érték a szimmetriatengelytől egyenlő távol van; mindkét függvényérték 3+k.