Matematika

Egyenletrendszerek · Témazáró gyakorlás

Egyenletrendszerek – témazáró gyakorlás

Rendszerezd a témakör módszereit, majd oldd meg a vegyes feladatsort önállóan.

Értsd meg!

Mire készülj?

A témakör kulcslépései: Értelmezd a közös megoldást két grafikon metszéspontjaként. Használd a behelyettesítést, az összehasonlítást és az egyenlő együtthatók módszerét. Fordítsd a szövegben szereplő két független összefüggést két egyenletre. Gyakorold a módszerválasztást és a vásárlási, keverési feladatokat. Oldj meg önállóan különböző felépítésű rendszereket, és ismerd fel a megoldások számát.

Két egyenes közös pontja

A grafikonok a (2;3) pontban találkoznak. A 2 és 3 mindkét egyenletbe behelyettesítve igaz egyenlőséget ad; a megoldás a két feltétel közös teljesülése.
A grafikonok a (2;3) pontban találkoznak. A 2 és 3 mindkét egyenletbe behelyettesítve igaz egyenlőséget ad; a megoldás a két feltétel közös teljesülése.

Hogyan használd a feladatsort?

Először oldd meg a feladatokat segítség és megoldásnézés nélkül. Írd le a füzetedbe a számolásokat és az indoklásokat. Az ellenőrzés után nézd át a részletes magyarázatot, és jelöld meg, melyik definíció vagy lépés okozott nehézséget. A témakör leckéihez a legördülő listával visszatérhetsz. A pontszám önellenőrzés, a leírt gondolatmenet minőségét külön is vizsgáld.

Az egyenletrendszer három geometriai esete

Metsző egyeneseknél egy közös pont van. Különböző párhuzamos egyeneseknél nincs közös pont. Egybeeső egyeneseknél minden pont közös, ezért végtelen sok megoldás van.
Metsző egyeneseknél egy közös pont van. Különböző párhuzamos egyeneseknél nincs közös pont. Egybeeső egyeneseknél minden pont közös, ezért végtelen sok megoldás van.

Amit érdemes megjegyezni

  • Közös megoldás = közös grafikonpont
  • Két egyenes: 0, 1 vagy végtelen sok közös pont
  • Nem nulla számmal az egész egyenletet szorozzuk
  • Az ismeretlen kiküszöbölése után visszahelyettesítés következik
  • Összérték: p₁x + p₂y
  • Áttétel: x − k és y + k
  • Keverék össztömege: x + y
  • Tiszta anyag tömege: c₁x + c₂y
  • Ellenőrzés az eredeti rendszerben
  • 0 = nem nulla: ellentmondás

Kidolgozott példák

1. példa

Két egyenes metszése

Oldd meg grafikusan: y = x + 1 és y = −x + 5.

  1. Az első egyenes pontjai például (0; 1), (2; 3).
  2. A második egyenes pontjai (0; 5), (2; 3).
  3. A metszéspont (2; 3).
  4. Ellenőrzés: 3 = 2 + 1 és 3 = −2 + 5.

2. példa

Függő egyenletek

2x + y = 5; 6x + 3y = 15.

  1. A második az első háromszorosa.
  2. Kivonáskor 0 = 0 marad.
  3. A megoldások (t; 5 − 2t), ahol t bármely valós szám.
  4. Nem minden számpár jó: például (0; 0) nem megfelelő.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 12

1. feladat

x + y = 15; x − y = 5. Add meg x; y-t!

Megoldás és magyarázat

Összeadva 2x = 20, majd y = 5.

2. feladat

3x + y = 17; x + y = 9. Add meg x; y-t!

Megoldás és magyarázat

Kivonva 2x = 8, így x = 4 és y = 5.

3. feladat

2x + y = 4; 4x + 2y = 11. Van megoldás? Írd: nincs!

Megoldás és magyarázat

Az első kétszeresének jobb oldala 8, nem 11.

4. feladat

20 jegy, 1500 és 1000 Ft-osak, összesen 25 000 Ft. Hány drágább jegy?

Megoldás és magyarázat

1500x + 1000(20 − x) = 25 000 → x = 10.

5. feladat

6 kg keverék 800 és 1400 Ft/kg-os anyagból 1000 Ft/kg-os átlaggal. Hány kg a drágább?

Megoldás és magyarázat

800(6 − y) + 1400y = 6000 → y = 2.

6. feladat

y = 2x + 3 és y = −x + 9 metszéspontja? x; y sorrendben.

Megoldás és magyarázat

2x + 3 = −x + 9 → x = 2, y = 7.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: x+y=19; x−y=-3. Add meg x; y-t!

Megoldás és magyarázat

Összeadva 2x=16, ezért x=8; y=19−8=11.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: 2x+y=27; x+2y=30. Add meg x; y-t!

Megoldás és magyarázat

Az első kétszereséből kivonjuk a másodikat: 3x=24. Ebből x=8, y=11.

9. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Az y=x+8 és y=−x+30 egyenesek metszéspontjának koordinátái? x; y.

Megoldás és magyarázat

x+8=−x+30 → 2x=22; x=11, y=19.

10. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Hány megoldása van: x+y=19; 2x+2y=39?

Megoldás és magyarázat

A második bal oldala az első kétszerese, a jobb oldala viszont nem. Az egyenesek párhuzamosak.

11. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Hány megoldása van: x+y=19; 3x+3y=57? Írd: végtelen!

Megoldás és magyarázat

A második egyenlet az első háromszorosa: ugyanazt az egyenest írják le.

12. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Oldd meg: x2+y=15.0; x+y=19. Add meg x; y-t!

Megoldás és magyarázat

Kivonva x2=4.0; ezért x=8, majd y=11.