Matematika

Hatványozás és négyzetgyök · 12. lecke

A hatványozás – ismétlés

Alkalmazd a pozitív egész kitevős hatvány fogalmát és azonosságait.

Értsd meg!

Alap és kitevő

Pozitív egész n esetén aⁿ az a szám n tényezőként vett szorzata. Az a az alap, n a kitevő. A hatvány nem az alap és a kitevő szorzata: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Zárójel nélkül a mínusz általában a hatvány után értelmeződik: −3² = −9, míg (−3)² = 9.

A kettő hatványai darabszámmal szemléltetve

Balra nyolc, jobbra tizenhat egység látható. A hatványozás ismételt szorzás, nem az alap és kitevő szorzata. A 2³ ezért 8, nem 6.
Balra nyolc, jobbra tizenhat egység látható. A hatványozás ismételt szorzás, nem az alap és kitevő szorzata. A 2³ ezért 8, nem 6.

Azonosságok indoka

Azonos alapú hatványok szorzásakor a tényezők darabszámát adjuk össze, ezért a kitevők összeadódnak. Hatvány hatványozásakor a tényezőszám szorzódik. Szorzat hatványánál minden tényezőt hatványozunk. Ezek a szabályok a szorzásra működnek, összeadásra nem: (a + b)² nem egyenlő a² + b²-tel.

Osztás és előjelek

Azonos alapú hatványok osztásakor a közös tényezők egyszerűsödnek. A nevező nem lehet nulla. Negatív alap pozitív páros kitevővel nemnegatív, páratlan kitevővel negatív eredményt ad. Számoláskor a zárójel, hatvány, szorzás/osztás, összeadás/kivonás sorrendet követjük.

Negatív kitevők: egymást követő felezések

2⁰=1; 2⁻¹=1/2; 2⁻²=1/4; 2⁻³=1/8. A kitevő eggyel csökkentése felezi az értéket. A negatív kitevő nem negatív számot, hanem reciprokot jelent.
2⁰=1; 2⁻¹=12; 2⁻²=14; 2⁻³=18. A kitevő eggyel csökkentése felezi az értéket. A negatív kitevő nem negatív számot, hanem reciprokot jelent.

Amit érdemes megjegyezni

  • aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  • (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
  • (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
  • aman = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0

Kidolgozott példák

1. példa

Hatványok szorzata

Egyszerűsítsd: 2³ · 2⁵.

  1. Az alap ugyanaz: 2.
  2. A kitevők összege 3 + 5 = 8.
  3. A kifejezés 2⁸ = 256.
  4. Nem a két kitevőt szorozzuk össze.

2. példa

Mínusz és zárójel

Hasonlítsd össze −4² és (−4)² értékét.

  1. −4² = −(4 · 4) = −16.
  2. (−4)² = (−4) · (−4) = 16.
  3. A zárójel az alaphoz rendeli a mínuszt.
  4. A két kifejezés ezért nem egyenlő.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

3³ értéke?

Megoldás és magyarázat

3 · 3 · 3 = 27.

2. feladat

2⁴ · 2² értéke?

Megoldás és magyarázat

2⁶ = 64.

3. feladat

(−2)⁵ értéke?

Megoldás és magyarázat

Páratlan kitevőnél negatív az eredmény.

4. feladat

5654 értéke?

Megoldás és magyarázat

5² = 25, az alap nem nulla.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

2³·2² értéke?

Megoldás és magyarázat

Azonos alap: kitevő 3+2=5; 2⁵=32.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

2624 értéke?

Megoldás és magyarázat

6−4=2, így 2²=4.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

(2²)³ értéke?

Megoldás és magyarázat

2·3=6, ezért 2⁶=64.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

(-2)³ értéke?

Megoldás és magyarázat

A három negatív tényező szorzata negatív: −8.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

2⁰+2² értéke?

Megoldás és magyarázat

Nem nulla alap esetén 2⁰=1, tehát 1+4=5.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

2−2·2522 értéke?

Megoldás és magyarázat

A kitevő −2+5−2=1, tehát 2¹=2.