Egyenletrendszerek · 11. lecke
Oldj meg önállóan különböző felépítésű rendszereket, és ismerd fel a megoldások számát.
Ha valamelyik ismeretlennek 1 az együtthatója, a behelyettesítés kényelmes. Ellentett együtthatóknál az összeadás gyorsabb. Ha mindkét egyenlet könnyen y = mx + b alakba írható, a grafikus kép segíti az ellenőrzést. Nincs minden feladathoz egyetlen kötelező módszer; a helyes átalakítás és ellenőrzés a lényeg.
Minden átalakítás mindkét oldalra kiterjedt? A zárójel előtt álló mínusz minden belső tag előjelét megváltoztatta? Mindkét ismeretlent megadtad? Az eredeti két egyenlet valóban teljesül? Szöveges feladatnál az eredmény a megengedett tartományban van? Ezeket a kérdéseket használhatod egy dolgozat végén is.
A végtelen sok megoldásnál írj fel kapcsolatot az ismeretlenek között, például y = 5 − 2x. Megoldás nélküli rendszernél mutasd meg az ellentmondást. Egy rendezett számpár csak akkor fogadható el, ha mindkét feltételt teljesíti. A részfeladatokat előbb segítség nélkül végezd el, majd a megoldási gondolatot is ellenőrizd.
1. példa
+ y = 5; x − y = 1.
2. példa
2x + y = 5; 6x + 3y = 15.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
2x + 3y = 19; x − y = 2. Add meg x; y-t!
x = y + 2; 5y + 4 = 19 → y = 3 és x = 5.
+ y = 7; x + y = 10. Add meg x; y-t!
Kivonva = 3, majd y = 4.
x + 2y = 6; 3x + 6y = 20. Van megoldás? Írd: nincs!
Az első háromszorosa jobb oldalon 18-at ad, nem 20-at.
18 érménk van, 100 és 200 Ft-osak, összesen 2600 Ft. Hány 200 Ft-os?
100(18 − y) + 200y = 2600 → y = 8.
5x − y = 7; 10x − 2y = 14. Hány megoldás? Írd: végtelen!
A két egyenlet ugyanazt az egyenest írja le.
Igaz vagy hamis: (3; 2) megoldja a 2x + y = 8; x − y = 1 rendszert.
2 · 3 + 2 = 8 és 3 − 2 = 1.
Oldd meg: x+y=17; x−y=-3. Add meg x; y-t!
Összeadva 2x=14, ezért x=7; y=17−7=10.
Oldd meg: 2x+y=24; x+2y=27. Add meg x; y-t!
Az első kétszereséből kivonjuk a másodikat: 3x=21. Ebből x=7, y=10.
Az y=x+7 és y=−x+27 egyenesek metszéspontjának koordinátái? x; y.
x+7=−x+27 → 2x=20; x=10, y=17.
Hány megoldása van: x+y=17; 2x+2y=35?
A második bal oldala az első kétszerese, a jobb oldala viszont nem. Az egyenesek párhuzamosak.
Hány megoldása van: x+y=17; 3x+3y=51? Írd: végtelen!
A második egyenlet az első háromszorosa: ugyanazt az egyenest írják le.
Oldd meg: +y=13.5; x+y=17. Add meg x; y-t!
Kivonva =3.5; ezért x=7, majd y=10.