Egyenletrendszerek · 8. lecke
Használd a behelyettesítést, az összehasonlítást és az egyenlő együtthatók módszerét.
Az egyik egyenletből fejezd ki az egyik ismeretlent, és ezt helyettesítsd a másik egyenletbe. Így egyismeretlenes egyenletet kapsz. A kiszámított értéket visszahelyettesítve határozd meg a másik ismeretlent is. Érdemes azt választani, amelynek együtthatója 1 vagy −1, mert így elkerülhetők a törtek.
Az egyenleteket megfelelő nem nulla számokkal megszorozhatjuk. Úgy válasszuk a szorzókat, hogy az egyik változó együtthatói azonosak vagy ellentettek legyenek. Kivonással vagy összeadással ez a változó eltűnik. Minden tagot meg kell szorozni, a jobb oldalt is. Az összehasonlító módszernél ugyanazt az ismeretlent fejezzük ki mindkét egyenletből, és a kifejezéseket egyenlővé tesszük.
Ha a változók kiesése után hamis egyenlőség, például 0 = 5 marad, a rendszer ellentmondásos. Ha 0 = 0 marad, a két feltétel nem független; a megmaradt egyenlet írja le a megoldásokat. Ez nem jelenti, hogy minden számpár jó. A kapott számpárt mindig mindkét eredeti egyenletben ellenőrizzük.
1. példa
Oldd meg: x + y = 9; 2x − y = 3.
2. példa
Oldd meg: 3x + 2y = 16; 5x − 2y = 8.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
x + y = 11; x − y = 3. Add meg x; y-t!
Összeadva 2x = 14; x = 7 és y = 4.
2x + y = 10; x − y = 2. Add meg x; y-t!
Összeadás: 3x = 12; y = 10 − 8 = 2.
x + y = 3; 2x + 2y = 8. Van megoldás? Írd: nincs!
Az első kétszerese szerint 2x + 2y = 6, ami ellentmond a 8-nak.
3x + y = 7; 6x + 2y = 14. Hány megoldás? Írd: végtelen!
A második egyenlet az első kétszerese. Minden (x; 7 − 3x) megfelelő.
Oldd meg: x+y=11; x−y=-3. Add meg x; y-t!
Összeadva 2x=8, ezért x=4; y=11−4=7.
Oldd meg: 2x+y=15; x+2y=18. Add meg x; y-t!
Az első kétszereséből kivonjuk a másodikat: 3x=12. Ebből x=4, y=7.
Az y=x+4 és y=−x+18 egyenesek metszéspontjának koordinátái? x; y.
x+4=−x+18 → 2x=14; x=7, y=11.
Hány megoldása van: x+y=11; 2x+2y=23?
A második bal oldala az első kétszerese, a jobb oldala viszont nem. Az egyenesek párhuzamosak.
Hány megoldása van: x+y=11; 3x+3y=33? Írd: végtelen!
A második egyenlet az első háromszorosa: ugyanazt az egyenest írják le.
Oldd meg: +y=9.0; x+y=11. Add meg x; y-t!
Kivonva =2.0; ezért x=4, majd y=7.