Egyenletrendszerek · 7. lecke
Értelmezd a közös megoldást két grafikon metszéspontjaként.
Kétismeretlenes egyenlet megoldása olyan (x; y) számpár, amely behelyettesítve igazzá teszi az egyenlőséget. Egy egyenletrendszer megoldásának minden benne szereplő egyenletet teljesítenie kell. A sorrend számít: (2; 5) és (5; 2) általában nem ugyanaz a megoldás.
Az ax + by = c egyenlet, ha a és b nem egyszerre nulla, egy egyenest határoz meg. Ha b ≠ 0, kifejezhetjük y-t: y = −()x + . Két pont elegendő az egyenes megrajzolásához, de egy harmadik pont ellenőrzi a számítást. A közös pontok mindkét egyenletnek megfelelnek.
Két különböző, nem párhuzamos egyenes egy pontban metszi egymást: egy megoldás van. Különböző párhuzamos egyenesekhez nincs megoldás. Egybeeső egyenesek minden pontja közös, így végtelen sok megoldás van. A rajzon leolvasott koordinátát mindkét eredeti egyenletbe vissza kell helyettesíteni; a rajz pontossága korlátozott.
1. példa
Oldd meg grafikusan: y = x + 1 és y = −x + 5.
2. példa
Vizsgáld y = 2x + 1 és y = 2x − 3 közös megoldását.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
y = x + 2 és y = −x + 6 metszéspontja? Add meg x; y sorrendben!
x + 2 = −x + 6 → x = 2, y = 4.
y = 3x + 1 és y = 3x + 5: hány közös pont?
Azonos meredekség, eltérő tengelymetszet: nincs közös pont.
Igaz vagy hamis: a (1; 3) számpár teljesíti y = 2x + 1-et.
3 = 2 · 1 + 1.
y = x és 2y = 2x: véges vagy végtelen sok megoldás? Írd: végtelen!
A második egyenlet az első kétszerese, grafikonjaik egybeesnek.
Oldd meg: x+y=9; x−y=-3. Add meg x; y-t!
Összeadva 2x=6, ezért x=3; y=9−3=6.
Oldd meg: 2x+y=12; x+2y=15. Add meg x; y-t!
Az első kétszereséből kivonjuk a másodikat: 3x=9. Ebből x=3, y=6.
Az y=x+3 és y=−x+15 egyenesek metszéspontjának koordinátái? x; y.
x+3=−x+15 → 2x=12; x=6, y=9.
Hány megoldása van: x+y=9; 2x+2y=19?
A második bal oldala az első kétszerese, a jobb oldala viszont nem. Az egyenesek párhuzamosak.
Hány megoldása van: x+y=9; 3x+3y=27? Írd: végtelen!
A második egyenlet az első háromszorosa: ugyanazt az egyenest írják le.
Oldd meg: +y=7.5; x+y=9. Add meg x; y-t!
Kivonva =1.5; ezért x=3, majd y=6.