Matematika

Logika · 6. lecke

Logika – gyakorlás és tudáspróba

Kapcsold össze a tagadást, a műveleteket és a következtetést.

Értsd meg!

Megoldási sorrend

Összetett logikai feladatban először azonosítsd az egyszerű állításokat és az alaphalmazt. Utána jelöld a kötőszavakat, készíts szükség esetén igazságtáblát, és fogalmazd meg az eredményt szavakkal is. Számokról szóló mondatnál kereshetsz ellenpéldát, de ez nem helyettesíti az általános indoklást, ha igazolni szeretnél.

Az igazságtáblázat négy lehetséges bemeneti párja

I: igaz, H: hamis. Az ÉS csak két igaz résznél igaz; a VAGY legalább egy igaz résznél igaz. Az implikáció egyetlen hamis sora: P igaz, Q hamis.
I: igaz, H: hamis. Az ÉS csak két igaz résznél igaz; a VAGY legalább egy igaz résznél igaz. Az implikáció egyetlen hamis sora: P igaz, Q hamis.

Több feltétel együtt

A „legalább az egyik” megengedő vagy, a „mindkettő” és, a „pontosan az egyik” kizáró vagy. A „nem mindegyik” és az „egyik sem” jelentése eltér. Három feltételnél a zárójelek pontosan jelölik, hogy melyik részek kapcsolódnak össze. A tagadást a teljes feltételre alkalmazd.

Indoklás és önellenőrzés

A helyes igazságérték mellett az indoklás minősége is fontos. Hamis általános állításhoz adj konkrét ellenpéldát, létezéshez megfelelő példát, egyenértékűséghez minden esetre kiterjedő érvelést. Ellenőrizd, hogy az ellenpéldád valóban az adott alaphalmaz eleme, és teljesíti a feltételt, miközben nem teljesíti a következményt.

Halmazábra az ÉS és a VAGY kapcsolatáról

Az átfedés azokat az elemeket jelöli, amelyekre mindkét feltétel igaz. Az egyesítés a két kör összes pontja. A körökön kívül egyik feltétel sem teljesül.
Az átfedés azokat az elemeket jelöli, amelyekre mindkét feltétel igaz. Az egyesítés a két kör összes pontja. A körökön kívül egyik feltétel sem teljesül.

Amit érdemes megjegyezni

  • Nem mindenki: van legalább egy kivétel
  • Pontosan egyik: (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q)

Nézd meg, próbáld ki!

Próbáld ki az igazságtáblát!

Változtasd P és Q értékét, és kövesd, melyik sorhoz milyen eredmények tartoznak.

A kétváltozós logikai műveletek igazságtáblája
PQ¬PP ∧ QP ∨ QP ⇒ QP ⇔ Q
IIHIIII
IHHHIHH
HIIHIIH
HHIHHII

Kiválasztva: P = I, Q = H. ÉS: H, VAGY: I, következtetés: H.

Kidolgozott példák

1. példa

Összetett feltétel

P igaz, Q hamis, R igaz. Értékeld ki (P ∧ Q) ∨ R-t!

  1. P ∧ Q = H.
  2. H ∨ R = H ∨ I = I.
  3. A teljes formula igaz.
  4. A zárójeles részt számoltuk előbb.

2. példa

Pontatlan tagadás javítása

„Minden jegy legalább 2000 Ft.” Tagadásnak javasolták: „Minden jegy olcsóbb 2000 Ft-nál.”

  1. Az eredeti állítás már egyetlen olcsóbb jegynél hamis.
  2. Nem szükséges minden jegynek olcsóbbnak lennie.
  3. Pontos tagadás: van 2000 Ft-nál olcsóbb jegy.
  4. A 2000 Ft-os jegy az eredeti állításnak megfelel, ezért nem ellenpélda.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 12

1. feladat

P igaz, Q hamis, R hamis. Igaz vagy hamis P ∧ (Q ∨ R)?

Megoldás és magyarázat

Q ∨ R hamis, ezért az ÉS is hamis.

2. feladat

Igaz vagy hamis: minden valós x-re x² > 0.

Megoldás és magyarázat

x = 0 esetén x² = 0, ami nem nagyobb nullánál.

3. feladat

Hány esetben igaz két állítás kizáró VAGY kapcsolata?

Megoldás és magyarázat

Az I, H és H, I sorokban igaz.

4. feladat

P hamis, Q igaz. Igaz vagy hamis ¬(P ∨ Q)?

Megoldás és magyarázat

P ∨ Q igaz, ennek tagadása hamis.

5. feladat

P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis ¬Q ⇒ ¬P?

Megoldás és magyarázat

¬Q igaz és ¬P hamis: igaz feltételből hamis következmény.

6. feladat

Igaz vagy hamis: a „van nem üres doboz” tagadása „minden doboz üres”.

Megoldás és magyarázat

A létezés tagadásakor minden elemre a tagadott tulajdonságot állítjuk.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Igaz vagy hamis: 64 páros akkor és csak akkor, ha 8 páros.

Megoldás és magyarázat

Egész szám négyzete az eredeti szám párosságát őrzi meg.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alap

P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis: P ∧ Q?

Megoldás és magyarázat

Az ÉS igazságához mindkét rész igazsága szükséges.

9. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis: P ∨ Q?

Megoldás és magyarázat

A megengedő VAGY-nál legalább egy igaz rész elegendő.

10. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Hány sora van egy három állításból készített teljes igazságtáblának?

Megoldás és magyarázat

Mindhárom állítás kétféle lehet: 2³=8 kombináció.

11. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Hány sorban igaz a P ∧ ¬Q kétváltozós teljes igazságtáblája?

Megoldás és magyarázat

Csak a P igaz, Q hamis sorban.

12. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: a P ∨ ¬P állítás minden esetben igaz.

Megoldás és magyarázat

Ha P igaz, az első rész; ha P hamis, a második rész igaz.