Matematika

Logika · 5. lecke

Állítás és megfordítása

Értsd a következtetés és az akkor és csak akkor kapcsolatát.

Értsd meg!

Ha…, akkor…

P ⇒ Q azt állítja, hogy P teljesülése esetén Q is teljesül. P a feltétel, Q a következmény. A kapcsolat csak akkor hamis, ha a feltétel igaz, de a következmény hamis. Ha a feltétel nem teljesül, ebből a mondatból nem vonhatunk le biztos következtetést Q-ra.

Az igazságtáblázat négy lehetséges bemeneti párja

I: igaz, H: hamis. Az ÉS csak két igaz résznél igaz; a VAGY legalább egy igaz résznél igaz. Az implikáció egyetlen hamis sora: P igaz, Q hamis.
I: igaz, H: hamis. Az ÉS csak két igaz résznél igaz; a VAGY legalább egy igaz résznél igaz. Az implikáció egyetlen hamis sora: P igaz, Q hamis.

Megfordítás és ellenpélda

A megfordítás Q ⇒ P. Az eredeti következtetés igaz volta nem garantálja a megfordítás igaz voltát. Ha egy egész szám osztható 12-vel, akkor osztható 4-gyel; de a 8 mutatja, hogy a megfordítás hamis. A megfordítás ellenőrzése ezért külön feladat.

Szükséges, elégséges, egyenértékű

P ⇒ Q esetén P elégséges Q-hoz, Q szükséges P-hez. Ha mindkét irány igaz, P ⇔ Q: P akkor és csak akkor teljesül, ha Q. A következtetés egyenértékű a kontrapozíciójával: ¬Q ⇒ ¬P. Ez a tagadásokkal együtt fordított mondat, és nem azonos az egyszerű megfordítással.

Halmazábra az ÉS és a VAGY kapcsolatáról

Az átfedés azokat az elemeket jelöli, amelyekre mindkét feltétel igaz. Az egyesítés a két kör összes pontja. A körökön kívül egyik feltétel sem teljesül.
Az átfedés azokat az elemeket jelöli, amelyekre mindkét feltétel igaz. Az egyesítés a két kör összes pontja. A körökön kívül egyik feltétel sem teljesül.

Amit érdemes megjegyezni

  • P ⇒ Q csak I ⇒ H esetén hamis
  • P ⇔ Q: azonos igazságérték
  • P ⇒ Q egyenértékű ¬Q ⇒ ¬P-vel

Nézd meg, próbáld ki!

Próbáld ki az igazságtáblát!

Változtasd P és Q értékét, és kövesd, melyik sorhoz milyen eredmények tartoznak.

A kétváltozós logikai műveletek igazságtáblája
PQ¬PP ∧ QP ∨ QP ⇒ QP ⇔ Q
IIHIIII
IHHHIHH
HIIHIIH
HHIHHII

Kiválasztva: P = I, Q = H. ÉS: H, VAGY: I, következtetés: H.

Kidolgozott példák

1. példa

Megfordítás vizsgálata

P: n osztható 15-tel. Q: n osztható 5-tel.

  1. P ⇒ Q igaz, mert 15k = 5 · 3k.
  2. Q ⇒ P nem mindig igaz.
  3. Az n = 10 osztható 5-tel, de nem 15-tel.
  4. A megfordítás tehát hamis.

2. példa

Akkor és csak akkor

Egész n esetén n páros akkor és csak akkor, ha n² páros.

  1. Ha n = 2k, akkor n² = 4k² páros.
  2. Ha n páratlan, n = 2k + 1, akkor n² = 2(2k² + 2k) + 1 páratlan.
  3. Így páros négyzethez nem tartozhat páratlan n.
  4. Mindkét irány igaz, tehát egyenértékű a két tulajdonság.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis P ⇒ Q?

Megoldás és magyarázat

Ez az egyetlen hamis eset.

2. feladat

Igaz vagy hamis: ha n² = 16, akkor n = 4, ahol n valós.

Megoldás és magyarázat

Az n = −4 ellenpélda.

3. feladat

P hamis, Q hamis. Igaz vagy hamis P ⇔ Q?

Megoldás és magyarázat

Az ekvivalencia azonos igazságérték esetén igaz.

4. feladat

Adj pozitív, 4-gyel osztható, de 12-vel nem osztható számot 5 alatt!

Megoldás és magyarázat

A 4 osztható 4-gyel, de nem 12-vel.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis a P ⇒ Q?

Megoldás és magyarázat

Az implikáció egyetlen hamis esete: igaz feltétel és hamis következmény.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

P hamis, Q igaz. Igaz vagy hamis a P ⇒ Q?

Megoldás és magyarázat

A hamis feltétel nem ad ellenpéldát az implikációra.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Igaz vagy hamis: ha egy egész szám 6-tal osztható, akkor 3-mal is.

Megoldás és magyarázat

A 6 többszöröse 3 többszöröse is.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Igaz vagy hamis: az előző állítás megfordítása mindig igaz.

Megoldás és magyarázat

A 3 például osztható 3-mal, de nem osztható 6-tal.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: a P ⇒ Q kontrapozíciója ¬Q ⇒ ¬P.

Megoldás és magyarázat

A két implikáció ugyanabban az egy esetben hamis.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Hány sorban igaz a P ⇔ Q a kétváltozós teljes igazságtáblában?

Megoldás és magyarázat

Igaz–igaz és hamis–hamis esetben; összesen két sorban.