Matematika

Logika · 4. lecke

Igaz vagy hamis? Foglaljuk táblázatba!

Állíts össze igazságtáblát, és értékeld ki az összetett állításokat.

Értsd meg!

Az összes eset felsorolása

Két állításnak 2² = 4, háromnak 2³ = 8 lehetséges igazságérték-kombinációja van. Az igazságtábla ezeket rendszeresen felsorolja. Egy szokásos sorrend: I–I, I–H, H–I, H–H. A sorrend nem befolyásolja az eredményt, de minden esetnek pontosan egyszer kell szerepelnie.

Az igazságtáblázat négy lehetséges bemeneti párja

I: igaz, H: hamis. Az ÉS csak két igaz résznél igaz; a VAGY legalább egy igaz résznél igaz. Az implikáció egyetlen hamis sora: P igaz, Q hamis.
I: igaz, H: hamis. Az ÉS csak két igaz résznél igaz; a VAGY legalább egy igaz résznél igaz. Az implikáció egyetlen hamis sora: P igaz, Q hamis.

Részoszlopok használata

Az összetett kifejezést belülről kifelé számoljuk. A ¬P ∨ Q vizsgálatához előbb a ¬P oszlopot készítsük el, és csak utána a vagy eredményét. Több zárójel esetén külön oszlopot adhatunk minden részkifejezésnek. Ez lassabbnak látszik, de sok előjel- és sorrendhibát megelőz.

Egyenértékűség és állandó érték

Két kifejezés akkor logikailag egyenértékű, ha minden sorban azonos az igazságértékük. Az összes sorban igaz formula tautológia, az összes sorban hamis formula ellentmondás. Egyetlen sor egyezése nem bizonyít egyenértékűséget; egy eltérő sor viszont cáfolja.

Halmazábra az ÉS és a VAGY kapcsolatáról

Az átfedés azokat az elemeket jelöli, amelyekre mindkét feltétel igaz. Az egyesítés a két kör összes pontja. A körökön kívül egyik feltétel sem teljesül.
Az átfedés azokat az elemeket jelöli, amelyekre mindkét feltétel igaz. Az egyesítés a két kör összes pontja. A körökön kívül egyik feltétel sem teljesül.

Amit érdemes megjegyezni

  • n állítás: 2ⁿ lehetséges kombináció
  • P ∨ ¬P mindig igaz
  • P ∧ ¬P mindig hamis

Nézd meg, próbáld ki!

Próbáld ki az igazságtáblát!

Változtasd P és Q értékét, és kövesd, melyik sorhoz milyen eredmények tartoznak.

A kétváltozós logikai műveletek igazságtáblája
PQ¬PP ∧ QP ∨ QP ⇒ QP ⇔ Q
IIHIIII
IHHHIHH
HIIHIIH
HHIHHII

Kiválasztva: P = I, Q = H. ÉS: H, VAGY: I, következtetés: H.

Kidolgozott példák

1. példa

Részoszlop készítése

Mikor hamis ¬P ∨ Q?

  1. Ha P igaz, akkor ¬P hamis.
  2. A vagy csak két hamis tagból ad hamisat.
  3. Ezért Q-nak hamisnak kell lennie.
  4. A keresett sor: P igaz, Q hamis.

2. példa

De Morgan ellenőrzése

Hasonlítsd össze ¬(P ∧ Q) és ¬P ∨ ¬Q értékeit.

  1. I, I esetén mindkettő H.
  2. I, H és H, I esetén mindkettő I.
  3. H, H esetén is mindkettő I.
  4. Mind a négy sor egyezik, tehát a két formula egyenértékű.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

Hány sora van négy állítás teljes igazságtáblájának?

Megoldás és magyarázat

2⁴ = 16 különböző kombináció.

2. feladat

Hány sorban igaz P ∨ Q két állítás esetén?

Megoldás és magyarázat

Csak a H, H sorban hamis.

3. feladat

P hamis és Q igaz. Igaz vagy hamis ¬P ∧ Q?

Megoldás és magyarázat

¬P igaz, Q igaz, így az ÉS igaz.

4. feladat

Hány sorban hamis P ∨ ¬P?

Megoldás és magyarázat

P és a tagadása közül mindig az egyik igaz.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Igaz vagy hamis: 36 páros akkor és csak akkor, ha 6 páros.

Megoldás és magyarázat

Egész szám négyzete az eredeti szám párosságát őrzi meg.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis: P ∧ Q?

Megoldás és magyarázat

Az ÉS igazságához mindkét rész igazsága szükséges.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis: P ∨ Q?

Megoldás és magyarázat

A megengedő VAGY-nál legalább egy igaz rész elegendő.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Hány sora van egy három állításból készített teljes igazságtáblának?

Megoldás és magyarázat

Mindhárom állítás kétféle lehet: 2³=8 kombináció.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Hány sorban igaz a P ∧ ¬Q kétváltozós teljes igazságtáblája?

Megoldás és magyarázat

Csak a P igaz, Q hamis sorban.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: a P ∨ ¬P állítás minden esetben igaz.

Megoldás és magyarázat

Ha P igaz, az első rész; ha P hamis, a második rész igaz.