Matematika

Logika · 3. lecke

VAGY művelet, ÉS művelet

Különböztesd meg az együtt teljesülést és a legalább egyik feltétel teljesülését.

Értsd meg!

Az ÉS jelentése

P ∧ Q csak akkor igaz, ha P és Q is igaz. Például egy ösztöndíjhoz szükséges „jó tanulmányi eredmény ÉS rendszeres jelenlét” feltételnél egyik önmagában nem elég. A műveletet konjunkciónak nevezzük. Halmazok esetében ennek a közös rész, a metszet felel meg.

Az igazságtáblázat négy lehetséges bemeneti párja

I: igaz, H: hamis. Az ÉS csak két igaz résznél igaz; a VAGY legalább egy igaz résznél igaz. Az implikáció egyetlen hamis sora: P igaz, Q hamis.
I: igaz, H: hamis. Az ÉS csak két igaz résznél igaz; a VAGY legalább egy igaz résznél igaz. Az implikáció egyetlen hamis sora: P igaz, Q hamis.

A megengedő VAGY

P ∨ Q akkor igaz, ha legalább az egyik tag igaz. A mindkettő igaz eset is megengedett. A matematikai „vagy” tehát általában nem kizáró. A kizáró vagy pontosan egy igaz tagot enged meg; ezt külön kell jelezni. Halmazokban a megengedő vagy az unió gondolatát fejezi ki.

Összetett feltételek tagadása

Az ÉS tagadásakor VAGY jelenik meg, és fordítva: ¬(P ∧ Q) egyenértékű ¬P ∨ ¬Q-val; ¬(P ∨ Q) pedig ¬P ∧ ¬Q-val. Ezek a De Morgan-szabályok. A zárójel megmutatja, melyik teljes kifejezést tagadjuk; a zárójel elhagyása könnyen más jelentéshez vezet.

Halmazábra az ÉS és a VAGY kapcsolatáról

Az átfedés azokat az elemeket jelöli, amelyekre mindkét feltétel igaz. Az egyesítés a két kör összes pontja. A körökön kívül egyik feltétel sem teljesül.
Az átfedés azokat az elemeket jelöli, amelyekre mindkét feltétel igaz. Az egyesítés a két kör összes pontja. A körökön kívül egyik feltétel sem teljesül.

Amit érdemes megjegyezni

  • P ∧ Q: mindkettő igaz
  • P ∨ Q: legalább az egyik igaz
  • ¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q
  • ¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q

Nézd meg, próbáld ki!

Próbáld ki az igazságtáblát!

Változtasd P és Q értékét, és kövesd, melyik sorhoz milyen eredmények tartoznak.

A kétváltozós logikai műveletek igazságtáblája
PQ¬PP ∧ QP ∨ QP ⇒ QP ⇔ Q
IIHIIII
IHHHIHH
HIIHIIH
HHIHHII

Kiválasztva: P = I, Q = H. ÉS: H, VAGY: I, következtetés: H.

Kidolgozott példák

1. példa

Belépési feltétel

Beléphet, akinek van jegye ÉS igazolványa. Anna csak jegyet hozott.

  1. P: van jegye, igaz. Q: van igazolványa, hamis.
  2. I ∧ H = H.
  3. Anna nem teljesíti a belépési feltételt.
  4. A feltétel megengedő VAGY esetén teljesülne.

2. példa

Oszthatóság és tagadás

Tagadd: a szám osztható 2-vel vagy 5-tel.

  1. P: osztható 2-vel. Q: osztható 5-tel.
  2. Az eredeti állítás P ∨ Q.
  3. Tagadása ¬P ∧ ¬Q.
  4. A szám sem 2-vel, sem 5-tel nem osztható; például a 7 ilyen.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis P ∧ Q?

Megoldás és magyarázat

Az ÉS-hez mindkét tag igaz volta kell.

2. feladat

P igaz, Q igaz. Igaz vagy hamis P ∨ Q?

Megoldás és magyarázat

A megengedő vagy a mindkettő igaz esetet is engedi.

3. feladat

A 18 osztható 2-vel ÉS 3-mal. Igaz vagy hamis?

Megoldás és magyarázat

182 = 9 és 183 = 6 egész szám.

4. feladat

Hány sorában igaz a kétváltozós ÉS az igazságtáblának?

Megoldás és magyarázat

A négy esetből csak az I, I sorban igaz.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Igaz vagy hamis: 25 páros akkor és csak akkor, ha 5 páros.

Megoldás és magyarázat

Egész szám négyzete az eredeti szám párosságát őrzi meg.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis: P ∧ Q?

Megoldás és magyarázat

Az ÉS igazságához mindkét rész igazsága szükséges.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis: P ∨ Q?

Megoldás és magyarázat

A megengedő VAGY-nál legalább egy igaz rész elegendő.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Hány sora van egy három állításból készített teljes igazságtáblának?

Megoldás és magyarázat

Mindhárom állítás kétféle lehet: 2³=8 kombináció.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Hány sorban igaz a P ∧ ¬Q kétváltozós teljes igazságtáblája?

Megoldás és magyarázat

Csak a P igaz, Q hamis sorban.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: a P ∨ ¬P állítás minden esetben igaz.

Megoldás és magyarázat

Ha P igaz, az első rész; ha P hamis, a második rész igaz.