Matematika

Másodfokú egyenletek · 40. lecke

Másodfokú egyenletek – gyakorlás és tudáspróba

Rendszerezd az egyenletmegoldást, a függvénykapcsolatot és a szöveges alkalmazásokat.

Értsd meg!

Módszerek rendszere

Kiemelés, szorzattá alakítás, gyökvonás, teljes négyzetté kiegészítés és megoldóképlet ugyanannak a célnak különböző útjai. Előbb vizsgáld meg az egyenlet szerkezetét. A hiányos egyenleteknél általában egyszerűbb módszer kínálkozik, de az ellenőrzés egyik módszernél sem maradhat el.

Diszkrimináns és az x tengellyel való metszés

Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.
Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.

Kapcsolat a függvénnyel

Az ax² + bx + c = 0 megoldásai az f(x) = ax² + bx + c zérushelyei. A csúcsalak a szélsőértéket és tengelyt, a diszkrimináns a gyökök számát, a szorzatalak a gyökök értékét mutatja meg. Ugyanazt a kifejezést ezért a kérdéshez legjobban illő alakra rendezzük.

Összetett és paraméteres esetek

Törtes modellnél kikötést, szöveges feladatnál értelmezési feltételt, paraméteres egyenletnél esetvizsgálatot végzünk. Ha például m x² + x − 1 = 0, m = 0-nál elsőfokú egyenletet kapunk, és a megoldóképletet nem használhatjuk. A tudáspróba végén jelöld, mely lépés okozott nehézséget, és a hozzá tartozó leckét ismételd át.

Teljes négyzet: a két téglalap és a saroknégyzet

Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.
Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.

Amit érdemes megjegyezni

  • Rendezés → módszerválasztás → gyökök → feltételek → ellenőrzés
  • m = 0 külön eset, ha m a főegyüttható

Kidolgozott példák

1. példa

Összetett ismétlés

Jellemezd f(x) = x² − 4x − 5 csúcsát és zérushelyeit!

  1. f(x) = (x − 2)² − 9.
  2. Csúcs (2; −9), minimum −9.
  3. (x − 2)² = 9 → zérushelyek −1 és 5.
  4. A függvény (x + 1)(x − 5) szorzatalakja ellenőrzi a gyököket.

2. példa

Külön eset

Oldd meg m x² + x − 1 = 0-t m = 0 és m = 1 esetén!

  1. m = 0 esetén x − 1 = 0, tehát x = 1.
  2. m = 1 esetén x² + x − 1 = 0.
  3. D = 5, ezért x = −1 ±√52.
  4. Az első esetben elsőfokú, a másodikban valódi másodfokú egyenletet oldottunk.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 12

1. feladat

4x² − 25 = 0 megoldásai?

Megoldás és magyarázat

x² = 254 → x = ±2,5.

2. feladat

x² − 9x + 14 = 0 megoldásai?

Megoldás és magyarázat

(x − 2)(x − 7) = 0.

3. feladat

f(x) = x² − 12x + 20 minimuma?

Megoldás és magyarázat

f(x) = (x − 6)² − 16.

4. feladat

x² + bx + 4 = 0 diszkriminánsa 0. Mely b értékek jók?

Megoldás és magyarázat

b² − 16 = 0 → b = ±4.

5. feladat

Téglalap területe 84 cm², oldalkülönbsége 5 cm. Mennyi a rövidebb oldal?

Megoldás és magyarázat

x(x + 5) = 84 → x = 7; a másik 12.

6. feladat

x² − 1 = 0, de x > 0. Mennyi a megoldás?

Megoldás és magyarázat

Az algebrai gyökök −1 és 1; a pozitivitás csak az 1-et engedi.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: x²−11x+28=0.

Megoldás és magyarázat

(x−4)(x−7)=0; ezért x=4 vagy x=7.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: 2x²−22x+56=0.

Megoldás és magyarázat

Kettővel osztva x²−11x+28=0. A gyökök 4, 7.

9. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Oldd meg: (x−4)²=49.

Megoldás és magyarázat

x−4=±7; a két gyök -3 és 11.

10. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

x²−11x+28=0 esetén mennyi a diszkrimináns?

Megoldás és magyarázat

D=11²−4·28=9=9.

11. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Az x²−11x+28=0 gyökeinek összege és szorzata? Összeg; szorzat.

Megoldás és magyarázat

Viète szerint −ba=11, ca=28.

12. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Hány valós megoldása van (x−4)²+7=0-nak?

Megoldás és magyarázat

A négyzet nemnegatív, 7>0, ezért az összeg nem nulla.