Matematika

Másodfokú egyenletek · Témazáró gyakorlás

Másodfokú egyenletek – témazáró gyakorlás

Rendszerezd a témakör módszereit, majd oldd meg a vegyes feladatsort önállóan.

Értsd meg!

Mire készülj?

A témakör kulcslépései: Ismerd fel és állítsd elő a kéttagú kifejezés négyzetét. Oldj meg másodfokú egyenletet, és keresd meg a függvény zérushelyeit csúcsalakból. Ismerd a képlet eredetét, feltételeit és használatának sorrendjét. Rendezz összetett egyenleteket, és válassz egyszerű módszert, ha lehetséges. Állíts fel másodfokú modellt, és válogasd ki a szövegnek megfelelő gyököket. Használd a diszkriminánst a gyökök számának megállapítására és paraméterek vizsgálatára. Használd a terület-, kerület- és Pitagorasz-képletet másodfokú egyenletben. Oldj meg törtes és új ismeretlent igénylő egyenleteket, a kikötések megtartásával. Építs helyes modellt egymást követő ár- és mennyiségváltozásokhoz. Használj sebesség- és teljesítményadatokat másodfokú modellekben. Dolgozzatok együtt, és használjátok a részfeladatok eredményeit egy közös megoldásban. Rendszerezd az egyenletmegoldást, a függvénykapcsolatot és a szöveges alkalmazásokat.

Diszkrimináns és az x tengellyel való metszés

Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.
Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.

Hogyan használd a feladatsort?

Először oldd meg a feladatokat segítség és megoldásnézés nélkül. Írd le a füzetedbe a számolásokat és az indoklásokat. Az ellenőrzés után nézd át a részletes magyarázatot, és jelöld meg, melyik definíció vagy lépés okozott nehézséget. A témakör leckéihez a legördülő listával visszatérhetsz. A pontszám önellenőrzés, a leírt gondolatmenet minőségét külön is vizsgáld.

Teljes négyzet: a két téglalap és a saroknégyzet

Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.
Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.

Amit érdemes megjegyezni

  • (x + u)² = x² + 2ux + u²
  • x² + px = (x + p2)² − p24
  • (x − h)² = r → x = h ± √r, ha r ≥ 0
  • r < 0 esetén nincs valós megoldás
  • D = b² − 4ac
  • x₁,₂ = −b ± √D2a, a ≠ 0, D ≥ 0
  • ax² + bx = x(ax + b)
  • x₁ + x₂ = −ba; x₁x₂ = ca
  • Egymást követő egész számok: x, x + 1
  • Egymást követő páros számok: x, x + 2

Kidolgozott példák

1. példa

Kiegészítés

Írd csúcsalakba: x² + 12x + 20.

  1. Az elsőfokú együttható fele 6.
  2. x² + 12x + 36 = (x + 6)².
  3. A 36 hozzáadása után 36-ot kivonunk: (x + 6)² − 16.
  4. Kifejtve x² + 12x + 36 − 16 = x² + 12x + 20.

2. példa

Külön eset

Oldd meg m x² + x − 1 = 0-t m = 0 és m = 1 esetén!

  1. m = 0 esetén x − 1 = 0, tehát x = 1.
  2. m = 1 esetén x² + x − 1 = 0.
  3. D = 5, ezért x = −1 ±√52.
  4. Az első esetben elsőfokú, a másodikban valódi másodfokú egyenletet oldottunk.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 12

1. feladat

2x² − 9x + 4 = 0 gyökei?

Megoldás és magyarázat

D = 81 − 32 = 49; 9 ±74.

2. feladat

x² + 8x + 20 = 0: hány valós gyök?

Megoldás és magyarázat

D = 64 − 80 < 0.

3. feladat

Téglalap területe 54, oldalkülönbsége 3. Mennyi a rövidebb oldal?

Megoldás és magyarázat

x(x + 3) = 54 → x = 6.

4. feladat

x + 1x = 174 megoldásai?

Megoldás és magyarázat

4x² − 17x + 4 = 0; x = 4 vagy 14.

5. feladat

Egy 4 és egy 12 órás dolgozó együtt hány óra alatt végez?

Megoldás és magyarázat

14 + 112 = 13.

6. feladat

Két egymást követő 20%-os kedvezmény után az ár 12 800 Ft. Mennyi volt az eredeti ár?

Megoldás és magyarázat

A szorzó 0,8² = 0,64; 12 8000,64 = 20 000.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: x²−13x+40=0.

Megoldás és magyarázat

(x−5)(x−8)=0; ezért x=5 vagy x=8.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: 2x²−26x+80=0.

Megoldás és magyarázat

Kettővel osztva x²−13x+40=0. A gyökök 5, 8.

9. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Oldd meg: (x−5)²=64.

Megoldás és magyarázat

x−5=±8; a két gyök -3 és 13.

10. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

x²−13x+40=0 esetén mennyi a diszkrimináns?

Megoldás és magyarázat

D=13²−4·40=9=9.

11. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Az x²−13x+40=0 gyökeinek összege és szorzata? Összeg; szorzat.

Megoldás és magyarázat

Viète szerint −ba=13, ca=40.

12. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Hány valós megoldása van (x−5)²+8=0-nak?

Megoldás és magyarázat

A négyzet nemnegatív, 8>0, ezért az összeg nem nulla.