Matematika

Másodfokú egyenletek · 39. lecke

Csoportverseny – másodfokú feladatok

Dolgozzatok együtt, és használjátok a részfeladatok eredményeit egy közös megoldásban.

Értsd meg!

A csapat működése

Alkossatok 3–4 fős csoportokat. Osszátok el a szerepeket: modellalkotó, számoló, ellenőrző és magyarázó. Háromfős csoportban az ellenőrző és magyarázó szerep összevonható. Minden feladat után cseréljetek szerepet, hogy ne egyetlen tanuló számoljon végig. A cél az indokolt, ellenőrzött eredmény, nem pusztán a gyorsaság.

Diszkrimináns és az x tengellyel való metszés

Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.
Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.

Feladatlánc

A részfeladatok eredményeit betűvel jelöljük, majd ezekből új kifejezést vagy egyenletet építünk. Az átadott eredmény mellett az ellenőrzést is mutassátok meg, mert egy korai hiba továbbgyűrűzik. Ahol szorzattá alakítás, kétszeres gyök vagy negatív diszkrimináns látszik, rövidebb módszert választhattok.

Értékelés és megbeszélés

Adjatok pontot a helyes modellre, módszerre, eredményre és ellenőrzésre. A végén minden csapat mutasson be egy feladatot úgy, hogy a többiek követni tudják. Beszéljétek meg, melyik módszer volt hatékonyabb, és hol volt szükség kikötésre. Az egyéni ellenőrzést az alábbi feladatlánccal is elvégezhetitek.

Teljes négyzet: a két téglalap és a saroknégyzet

Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.
Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.

Amit érdemes megjegyezni

  • Feladatlánc: az eredmény legyen ellenőrizhető bemenet a következő lépéshez
  • Gyorsaság mellett indoklás és ellenőrzés is számít

Kidolgozott példák

1. példa

Egy rövid lánc

A az x² − 9x + 20 = 0 kisebbik gyöke; B az x² + 1 = 0 valós gyökeinek száma. Mennyi A + B?

  1. Az első egyenlet gyökei 4 és 5, így A = 4.
  2. A másodiknak nincs valós gyöke, B = 0.
  3. A + B = 4.
  4. Az eredmény nem a második egyenlet gyöke, hanem a gyökök darabszámából számolható.

2. példa

Eredményből új egyenlet

C = 2, D = 3. Oldd meg: x² − (C + D)x + CD = 0.

  1. C + D = 5, CD = 6.
  2. x² − 5x + 6 = 0.
  3. (x − 2)(x − 3) = 0.
  4. A gyökök 2 és 3; a Viète-összefüggés is ezt jelzi.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 12

1. feladat

A az x² − 7x + 12 = 0 nagyobbik gyöke. Mennyi A?

Megoldás és magyarázat

A gyökök 3 és 4, a nagyobb 4.

2. feladat

B a 2x² + 2x + 3 = 0 valós gyökeinek száma. Mennyi B?

Megoldás és magyarázat

D = 4 − 24 < 0.

3. feladat

C az x² − 6x + 9 = 0 gyöke. Mennyi C?

Megoldás és magyarázat

(x − 3)² = 0.

4. feladat

Az előző három feladat alapján mennyi A + B + C?

Megoldás és magyarázat

4 + 0 + 3 = 7.

5. feladat

Az előző három feladat alapján mennyi A · C − B?

Megoldás és magyarázat

4 · 3 − 0 = 12.

6. feladat

Oldd meg: x² − (A + C)x + A · C = 0 az előző értékekkel!

Megoldás és magyarázat

x² − 7x + 12 = 0, gyökök 3 és 4.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: x²−9x+18=0.

Megoldás és magyarázat

(x−3)(x−6)=0; ezért x=3 vagy x=6.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: 2x²−18x+36=0.

Megoldás és magyarázat

Kettővel osztva x²−9x+18=0. A gyökök 3, 6.

9. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Oldd meg: (x−3)²=36.

Megoldás és magyarázat

x−3=±6; a két gyök -3 és 9.

10. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

x²−9x+18=0 esetén mennyi a diszkrimináns?

Megoldás és magyarázat

D=9²−4·18=9=9.

11. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Az x²−9x+18=0 gyökeinek összege és szorzata? Összeg; szorzat.

Megoldás és magyarázat

Viète szerint −ba=9, ca=18.

12. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Hány valós megoldása van (x−3)²+6=0-nak?

Megoldás és magyarázat

A négyzet nemnegatív, 6>0, ezért az összeg nem nulla.