Matematika

Másodfokú egyenletek · 36. lecke

Másodfokú egyenletre visszavezethető feladatok

Oldj meg törtes és új ismeretlent igénylő egyenleteket, a kikötések megtartásával.

Értsd meg!

Kikötések az elején

Törtes egyenletnél a nevezők nem lehetnek nullák. A kizárt értékeket az átalakítás előtt rögzítjük. A közös nevezővel szorzás csak a megengedett tartományon egyenértékű lépés. A kapott másodfokú egyenlet gyökei közül a kizárt értékeket el kell hagyni.

Másodfokú kifejezés előjele a két gyök körül

A két tényező x<2 esetén mindkettő negatív, x>5 esetén mindkettő pozitív: a szorzat pozitív. A két gyök között ellentétes előjelűek, a szorzat negatív. A gyökökben az érték nulla; a végpontok bevételét a reláció dönti el.
A két tényező x<2 esetén mindkettő negatív, x>5 esetén mindkettő pozitív: a szorzat pozitív. A két gyök között ellentétes előjelűek, a szorzat negatív. A gyökökben az érték nulla; a végpontok bevételét a reláció dönti el.

Reciprok és szorzás

Az x + 1x = c típusú egyenletnél x ≠ 0. x-szel szorozva x² − cx + 1 = 0 keletkezik. A gyökök szorzata 1, ezért gyakran egymás reciprokai. A helyzet vagy az alaphalmaz további korlátozásokat is adhat, például pozitív sebességet.

Új ismeretlen

Az x⁴ + px² + q = 0 egyenletben t = x² bevezetésével másodfokú egyenletet kapunk t-re. A t ≥ 0 feltételt megtartjuk. Pozitív t-hez két x, nulla t-hez egy x, negatív t-hez nincs valós x tartozik. Az új változó gyökei még nem az eredeti feladat végső megoldásai.

Diszkrimináns és az x tengellyel való metszés

Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.
Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.

Amit érdemes megjegyezni

  • Nevező ≠ 0: előzetes kikötés
  • t = x² esetén t ≥ 0

Kidolgozott példák

1. példa

Reciprokos egyenlet

Oldd meg: x + 1x = 52.

  1. Kikötés: x ≠ 0. Szorzás 2x-szel: 2x² + 2 = 5x.
  2. 2x² − 5x + 2 = 0.
  3. Gyökök x = 2 és 12.
  4. Mindkettő megengedett; 2 + 12 = 52.

2. példa

Bikvadratikus egyenlet

Oldd meg: x⁴ − 5x² + 4 = 0.

  1. t = x², így t² − 5t + 4 = 0.
  2. t = 1 vagy t = 4, mindkettő nemnegatív.
  3. x = ±1 vagy ±2.
  4. Az eredeti egyenletnek négy valós megoldása van.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

x + 1x = 103 megoldásai?

Megoldás és magyarázat

3x² − 10x + 3 = 0 → x = 3 vagy 13; x ≠ 0.

2. feladat

x⁴ − 10x² + 9 = 0 összes valós megoldása?

Megoldás és magyarázat

t² − 10t + 9 = 0 → t = 1 vagy 9 → x = ±1, ±3.

3. feladat

x2 − 1x − 1 = 2. Van megoldás? Írd: nincs!

Megoldás és magyarázat

Kikötés x ≠ 1. Az egyszerűsített x + 1 = 2 csak a kizárt x = 1-et adja.

4. feladat

x + 1x = 0. Hány valós megoldás?

Megoldás és magyarázat

x² + 1 = 0-nak nincs valós gyöke, és x ≠ 0.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

x2−49x−7 kifejezésnél mely x értéket kell kizárni?

Megoldás és magyarázat

A nevező x=7-nál nulla. Az egyszerűsítés után is megmarad a kikötés.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: x2−49x−7=17.

Megoldás és magyarázat

x≠7. A számláló (x−7)(x+7), így x+7=17 → x=10; ez megengedett.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Oldd meg: x+1x=507. Add meg a két gyököt!

Megoldás és magyarázat

x≠0. Szorozva x-szel másodfokú egyenletet kapunk; gyökei 7 és 17, mindkettő visszaellenőrizhető.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Az x2−49x−7=2·7 egyenletnek hány megoldása van?

Megoldás és magyarázat

Egyszerűsítve x+7=14 → x=7, de ezt a nevező miatt kizártuk.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Hány valós megoldása van az x+1x=1 egyenletnek?

Megoldás és magyarázat

x≠0; x²−x+1=0; D=1−4=−3.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

1x−7+1x−10 értelmezésénél mely két x érték kizárt?

Megoldás és magyarázat

Egyik nevező sem lehet nulla: x≠7, x≠10.