Matematika

Másodfokú egyenletek · 35. lecke

Szöveges feladatok geometriából

Használd a terület-, kerület- és Pitagorasz-képletet másodfokú egyenletben.

Értsd meg!

Rajz és ismeretlen

Készíts vázlatot, és jelöld az ismeretlen hosszúságot x-szel. A „3 cm-rel hosszabb” oldal x + 3, nem 3x. Téglalapnál a terület xy, a kerület 2x + 2y. Az adatok mértékegységeit egységesítsd; négyzetes egységek átváltásánál a hosszúsági váltószám négyzetét használjuk.

Teljes négyzet: a két téglalap és a saroknégyzet

Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.
Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.

Másodfokú kapcsolat

A terület a két változó hosszúság szorzata, ezért gyakran másodfokú egyenlet keletkezik. Derékszögű háromszögben a² + b² = c² ugyancsak négyzetes kapcsolat. Az algebrai egyenletet rendezhetjük kiemeléssel, teljes négyzetté kiegészítéssel vagy a megoldóképlettel.

Geometriai elfogadhatóság

Az oldalhosszak pozitívak. Háromszögnél a háromszög-egyenlőtlenséget, az átfogó szerepét és az adott feltételeket is ellenőrizni kell. A negatív gyök nem lehet hosszúság; a nulla sem megfelelő egy nem elfajult síkidom oldalának. A válaszban a szám mellé cm, m vagy más helyes egység kerül.

Két egybevágó derékszögű háromszög

Mindkét háromszög befogói 3 és 4, átfogója 5 egység. A három megfelelő oldal egyenlő, ezért egybevágók. Az ábrán azonos a méretük; a helyzetük nem része az egybevágóság feltételének.
Mindkét háromszög befogói 3 és 4, átfogója 5 egység. A három megfelelő oldal egyenlő, ezért egybevágók. Az ábrán azonos a méretük; a helyzetük nem része az egybevágóság feltételének.

Amit érdemes megjegyezni

  • Téglalap: T = ab, K = 2(a + b)
  • Pitagorasz: a² + b² = c²

Kidolgozott példák

1. példa

Téglalap

Egy téglalap területe 70 cm², egyik oldala 3 cm-rel hosszabb a másiknál.

  1. Legyen a rövidebb x > 0, a hosszabb x + 3.
  2. x(x + 3) = 70 → x² + 3x − 70 = 0.
  3. Gyökök 7 és −10; a megfelelő x = 7.
  4. Az oldalak 7 és 10 cm, területük 70 cm².

2. példa

Derékszögű háromszög

Az egyik befogó 4 cm-rel hosszabb a másiknál, átfogó 20 cm.

  1. Legyenek a befogók x és x + 4.
  2. x² + (x + 4)² = 400 → x² + 4x − 192 = 0.
  3. Pozitív gyök x = 12.
  4. Befogók 12 és 16 cm; 144 + 256 = 400.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

Téglalap területe 40 cm², oldalkülönbsége 3 cm. Mennyi a rövidebb oldal?

Megoldás és magyarázat

x(x + 3) = 40 → x = 5, a másik 8.

2. feladat

Négyzet területe 121 cm². Mennyi a kerülete?

Megoldás és magyarázat

Oldala 11 cm, kerülete 4 · 11 = 44 cm.

3. feladat

Derékszögű háromszög egyik befogója 9, átfogója 15 cm. Mennyi a másik befogó?

Megoldás és magyarázat

√(225 − 81) = √144 = 12.

4. feladat

Egy téglalap kerülete 34 cm, területe 60 cm². Add meg az oldalakat!

Megoldás és magyarázat

Oldalösszeg 17; x(17 − x) = 60 → x = 5 vagy 12.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Egy téglalap oldalai 3 cm-rel különböznek, területe 54 cm². Add meg a rövidebb; hosszabb oldalt cm-ben!

Megoldás és magyarázat

x(x+3)=54; x=6 a pozitív gyök, a másik oldal 9.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Egy négyzet területe 64 cm². Mennyi a kerülete cm-ben?

Megoldás és magyarázat

A pozitív oldal √64=8; a kerület 32.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Derékszögű háromszög befogói 18 és 24 cm. Mennyi az átfogó cm-ben?

Megoldás és magyarázat

c²=324+576=900, c=30.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Téglalap kerülete 30 cm, területe 54 cm². Mekkora a rövidebb oldal?

Megoldás és magyarázat

x+y=15; xy=54; x²−15x+54=0. Gyökök 6, 9.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Egy 16 cm kerületű téglalap maximális területe hány cm²?

Megoldás és magyarázat

x+y=8; T=x(8−x)=−(x−82)²+644, maximum 16.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: geometriai hosszúságként a negatív algebrai gyök is elfogadható.

Megoldás és magyarázat

A hosszúság pozitív; a negatív gyököt a modell kizárja.