Matematika

Másodfokú egyenletek · 34. lecke

Diszkrimináns

Használd a diszkriminánst a gyökök számának megállapítására és paraméterek vizsgálatára.

Értsd meg!

Mit különböztet meg D?

D = b² − 4ac azt mutatja, hogy a teljes négyzetre rendezett egyenlet jobb oldala negatív, nulla vagy pozitív. D < 0-nál nincs valós gyök; D = 0-nál egy kétszeres gyök; D > 0-nál kettő különböző valós gyök. A gyökök számát így gyakran számolásuk nélkül is tudjuk.

Diszkrimináns és az x tengellyel való metszés

Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.
Három különböző, felfelé nyíló parabolát hasonlítunk össze. A kéknek két valós zérushelye van; a zöld az origóban érinti a tengelyt; a narancs minimuma is pozitív, ezért nincs valós gyöke.

Grafikus jelentés

A másodfokú függvény grafikonja D > 0-nál kétszer metszi, D = 0-nál érinti, D < 0-nál nem metszi az x tengelyt. Ez az összes valós bemenetre értelmezett parabola állítása. A csúcsérték k = −D4a, ezért a és D együtt meghatározza a csúcs tengelyhez viszonyított helyzetét.

Paraméteres egyenlet

Ha egy együttható betű, D maga is kifejezés lesz. A feltételt D-re írjuk fel és megoldjuk a paraméterre. Közben ellenőrizzük, hogy a főegyüttható nem válik-e nullává. Ha a = 0 megengedett paraméterérték, ott az egyenletet külön, elsőfokú vagy állandó egyenletként kezeljük.

Parabola eltolása és csúcspontja

A kék alapparabola csúcsa (0;0), a zöld grafikoné (2;−3). Az x helyén álló x−2 két egységgel jobbra, a kívül álló −3 három egységgel lefelé tol. A szimmetriatengely x=2.
A kék alapparabola csúcsa (0;0), a zöld grafikoné (2;−3). Az x helyén álló x−2 két egységgel jobbra, a kívül álló −3 három egységgel lefelé tol. A szimmetriatengely x=2.

Amit érdemes megjegyezni

  • D > 0: 2; D = 0: 1; D < 0: 0 valós gyök
  • Csúcsérték: k = −D4a

Kidolgozott példák

1. példa

Gyökök számolás nélkül

Hány valós gyöke van 2x² + 4x + 5 = 0-nak?

  1. D = 4² − 4 · 2 · 5.
  2. D = 16 − 40 = −24.
  3. D negatív, ezért nincs valós gyök.
  4. Nem kell a megoldóképletben negatív szám gyökét kiszámítani.

2. példa

Paraméter

Mely k-nál van egy gyöke x² − 6x + k = 0-nak?

  1. D = 36 − 4k.
  2. Egy kétszeres gyök feltétele D = 0.
  3. 36 − 4k = 0 → k = 9.
  4. Az egyenlet ekkor (x − 3)² = 0.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

x² + 4x + 8 = 0: hány valós gyök?

Megoldás és magyarázat

D = 16 − 32 = −16.

2. feladat

x² − 8x + 16 = 0: hány különböző valós gyök?

Megoldás és magyarázat

D = 0; a kétszeres gyök x = 4.

3. feladat

x² − 2x − 3 = 0 diszkriminánsa?

Megoldás és magyarázat

D = 4 + 12 = 16.

4. feladat

x² + 10x + k = 0 kétszeres gyökű. Mennyi k?

Megoldás és magyarázat

100 − 4k = 0 → k = 25.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

x²−10x+17 esetén mennyi D?

Megoldás és magyarázat

D=(-10)²−4·1·17=32.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Hány különböző valós gyöke van x²−10x+25=0-nak?

Megoldás és magyarázat

D=0, így egy valós gyök van, amely kétszeres.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Hány valós gyöke van x²+5=0-nak?

Megoldás és magyarázat

D=−20<0; nemnegatív négyzethez pozitív számot adunk.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Az x²−10x+c=0 egyenlet kétszeres gyökű. Mennyi c?

Megoldás és magyarázat

D=100−4c=0 → c=25.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Az x²−10x+26 parabola minimumértéke?

Megoldás és magyarázat

(x−5)²+1; minimum 1. Nincs metszés az x tengellyel.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: pozitív diszkrimináns esetén mindkét gyök pozitív.

Megoldás és magyarázat

A pozitív D két különböző valós gyököt jelent, de az előjeleket nem dönti el. x²−1=0 gyökei ±1.