Függvénytranszformációk · 25. lecke
Kapcsold össze az általános és a csúcsalakot.
Másodfokú függvény: f(x) = ax² + bx + c, ahol a,b,c valós és a ≠ 0. Az a a főegyüttható; előjele meghatározza a parabola nyílását. A c = f(0) az y tengelymetszet. A b-től is függ, hol helyezkedik el a tengely és csúcs, ezért nem elég csak a konstans tagot figyelni.
Az x² + px + q kifejezés (x + )² + q − ()² alakban írható. Ha a ≠ 1, előbb kiemeljük a-t a négyzetes és elsőfokú tagból. Így leolvasható a csúcspont és a szélsőérték. A hozzáadott négyzetet ki is kell vonni, hogy a kifejezés értéke ne változzon.
A zérushely ott van, ahol f(x) = 0. A csúcshely h = −, a csúcsérték k = f(h). Pozitív a esetén az értékkészlet [k; ∞), negatív a esetén (−∞; k], ha a tartomány az összes valós szám. A grafikon zérushelyeinek száma a csúcsérték és nyílási irány kapcsolatából is felismerhető.
Változtasd a paramétereket! Figyeld az alapfüggvényt (szürke) és az átalakított grafikont (kék).
1 · (x − (0))² + (0)
A rajzolt ablak: −9 ≤ x ≤ 9 és −10 ≤ y ≤ 10. A görbe az ablakon túl is folytatódhat. Az értelmezési tartomány az összes valós szám.
1. példa
Alakítsd át f(x) = x² + 8x + 10-et!
2. példa
Jellemezd g(x) = −2x² + 8x − 3 csúcsát!
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
x² − 10x + 7 tengelyének x értéke?
− = = 5.
x² + 4x + 1 minimuma?
(x + 2)² − 3.
−x² + 6x − 5 maximuma?
−(x − 3)² + 4.
2x² + 3x − 7 y tengelymetszetének y koordinátája?
f(0) = −7.
f(x)=2(x−2)²−5. Mennyi f(4)?
f(4)=2·2²−5=3.
f(x)=(x−2)²+5. Add meg a csúcspontot x; y sorrendben!
A négyzet x=2-nál nulla, ezért a csúcs (2; 5).
f(x)=−2(x+2)²+5. Mennyi a maximumérték?
A negatív négyzet legfeljebb nulla; a maximum 5, x=−2-nál.
f(x)=(x−2)²−4. Add meg a két zérushelyet!
(x−2)²=4 → x−2=±2.
g(x)=√(x−2). Mi az értelmezési tartomány legkisebb eleme?
x−2≥0 → x≥2.
f(x)=3(x−2)²+5. Mennyi f(1)−f(3)?
A két x érték a szimmetriatengelytől egyenlő távol van; mindkét függvényérték 3+k.