Függvénytranszformációk · 23. lecke
Vizsgáld a függőleges nyújtást, zsugorítást és tükrözést.
g(x) = a · f(x) esetén a bemenet nem változik, a kimenet a-szorosára változik. Ha |a| > 1, az x tengelytől mért függőleges távolság nő; ha 0 < |a| < 1, csökken. Negatív a esetén a nyújtás vagy zsugorítás mellett az x tengelyre is tükrözünk. A nulla szorzó külön eset: állandó nulla függvényt ad.
Az ax², a ≠ 0, grafikonja felfelé nyílik, ha a > 0, és lefelé, ha a < 0. Nagyobb |a| szűkebbnek látszó parabolát ad, de a művelet függőleges irányú. A csúcs az origó marad, a tengely az y tengely. Azonos a és −a grafikonja egymás tükörképe az x tengelyre.
A parabola azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egy rögzített ponttól, a fókusztól és egy rögzített egyenestől, a vezéregyenestől egyenlő távol vannak. A fókusz nincs az egyenesen. A pont–egyenes távolság merőleges távolság. Ez a geometriai meghatározás kapcsolja össze a függvénygrafikont és a síkbeli ponthalmazt.
Változtasd a paramétereket! Figyeld az alapfüggvényt (szürke) és az átalakított grafikont (kék).
1 · (x − (0))² + (0)
A rajzolt ablak: −9 ≤ x ≤ 9 és −10 ≤ y ≤ 10. A görbe az ablakon túl is folytatódhat. Az értelmezési tartomány az összes valós szám.
1. példa
Hogyan változik az x² grafikon (2; 4) pontja 3x² esetén?
2. példa
Jellemezd g(x) = −0,5x²-t.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
f(x) = 4x². Mennyi f(3)?
4 · 9 = 36.
g(x) = −2x². Mennyi g(−2)?
−2 · 4 = −8.
h(x) = 0,25x². Mennyi h(4)?
0,25 · 16 = 4.
Igaz vagy hamis: −x² függvénynek a valós számokon maximuma van.
−x² ≤ 0, és x = 0-nál eléri a 0-t.
f(x)=2(x−7)²−10. Mennyi f(9)?
f(9)=2·2²−10=-2.
f(x)=(x−7)²+10. Add meg a csúcspontot x; y sorrendben!
A négyzet x=7-nál nulla, ezért a csúcs (7; 10).
f(x)=−2(x+7)²+10. Mennyi a maximumérték?
A negatív négyzet legfeljebb nulla; a maximum 10, x=−7-nál.
f(x)=(x−7)²−4. Add meg a két zérushelyet!
(x−7)²=4 → x−7=±2.
g(x)=√(x−7). Mi az értelmezési tartomány legkisebb eleme?
x−7≥0 → x≥7.
f(x)=3(x−7)²+10. Mennyi f(6)−f(8)?
A két x érték a szimmetriatengelytől egyenlő távol van; mindkét függvényérték 3+k.