Matematika

Függvénytranszformációk · 22. lecke

„Fel”–„le”, „jobbra”–„balra”

Olvasd le és alkalmazd a vízszintes és függőleges eltolásokat.

Értsd meg!

Függőleges eltolás

g(x) = f(x) + k esetén minden grafikonpont y koordinátájához k-t adunk. Pozitív k felfelé, negatív k lefelé tol. A bemenetek nem változnak, az értékkészlet viszont eltolódik. Az f grafikon (u; v) pontjából a g grafikon (u; v + k) pontja lesz.

Parabola eltolása és csúcspontja

A kék alapparabola csúcsa (0;0), a zöld grafikoné (2;−3). Az x helyén álló x−2 két egységgel jobbra, a kívül álló −3 három egységgel lefelé tol. A szimmetriatengely x=2.
A kék alapparabola csúcsa (0;0), a zöld grafikoné (2;−3). Az x helyén álló x−2 két egységgel jobbra, a kívül álló −3 három egységgel lefelé tol. A szimmetriatengely x=2.

Vízszintes eltolás

g(x) = f(x − h) a grafikont h-val jobbra tolja, ha h pozitív. Ennek oka, hogy az eredeti u bemenethez az új x = u + h tartozik. Az f(x + 3) alak tehát balra 3 egységet jelent. A jel nem tetszőleges emlékszabály: egy konkrét pont helyének követéséből levezethető.

Más alapfüggvények

Az eltolás nem csak parabolára alkalmazható. Az |x| V alakú grafikonja, a √x félgrafikonja és az 1x grafikonja is eltolható. Gyökfüggvénynél a tartomány is módosul: √(x − 2) csak x ≥ 2 esetén valós. A képlet értelmezési feltételeit az új alakból olvassuk le.

A parabola meredekségének változása

Az f(x)=ax² függvényben nagyobb pozitív a azonos x mellett nagyobb y értéket ad. A csúcs nem mozdul el. Az a=2 grafikon keskenyebbnek, az a=0,5 grafikon szélesebbnek látszik.
Az f(x)=ax² függvényben nagyobb pozitív a azonos x mellett nagyobb y értéket ad. A csúcs nem mozdul el. Az a=2 grafikon keskenyebbnek, az a=0,5 grafikon szélesebbnek látszik.

Amit érdemes megjegyezni

  • f(x) + k: függőleges eltolás k-val
  • f(x − h): vízszintes eltolás h-val
  • (x − h)² + k csúcsa: (h; k)

Nézd meg, próbáld ki!

Függvénylabor

Változtasd a paramétereket! Figyeld az alapfüggvényt (szürke) és az átalakított grafikont (kék).

1 · (x − (0))² + (0)

-8-8-4-404488xy

A rajzolt ablak: −9 ≤ x ≤ 9 és −10 ≤ y ≤ 10. A görbe az ablakon túl is folytatódhat. Az értelmezési tartomány az összes valós szám.

Kidolgozott példák

1. példa

Eltolt parabola

Jellemezd g(x) = (x − 4)² + 2 csúcsát és minimumát.

  1. Az x² grafikonját jobbra 4-gyel toljuk.
  2. Utána felfelé 2-vel.
  3. A csúcs (4; 2), a minimum 2, helye x = 4.
  4. A grafikon nem metszi az x tengelyt.

2. példa

Eltolt gyökfüggvény

Mi a √(x + 1) − 3 értelmezési tartománya?

  1. A gyök alatt x + 1 ≥ 0 kell.
  2. Ez x ≥ −1-et jelent.
  3. A grafikon kezdőpontja (−1; −3).
  4. A minimum −3, nem pedig a bemenet −1 értéke.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

(x + 5)² − 1 csúcsának x koordinátája?

Megoldás és magyarázat

Az x + 5 = 0 helyen van a csúcs.

2. feladat

|x − 3| + 7 minimuma?

Megoldás és magyarázat

Az abszolútérték minimuma 0, ezért a függvény minimuma 7.

3. feladat

√(x − 6) legkisebb megengedett bemenete?

Megoldás és magyarázat

x − 6 ≥ 0 → x ≥ 6.

4. feladat

x² grafikonját lefelé 4-gyel toljuk. Hány zérushelye lesz?

Megoldás és magyarázat

x² − 4 = 0 → x = −2 vagy 2.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

f(x)=2(x−6)²−9. Mennyi f(8)?

Megoldás és magyarázat

f(8)=2·2²−9=-1.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

f(x)=(x−6)²+9. Add meg a csúcspontot x; y sorrendben!

Megoldás és magyarázat

A négyzet x=6-nál nulla, ezért a csúcs (6; 9).

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

f(x)=−2(x+6)²+9. Mennyi a maximumérték?

Megoldás és magyarázat

A negatív négyzet legfeljebb nulla; a maximum 9, x=−6-nál.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

f(x)=(x−6)²−4. Add meg a két zérushelyet!

Megoldás és magyarázat

(x−6)²=4 → x−6=±2.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

g(x)=√(x−6). Mi az értelmezési tartomány legkisebb eleme?

Megoldás és magyarázat

x−6≥0 → x≥6.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

f(x)=3(x−6)²+9. Mennyi f(5)−f(7)?

Megoldás és magyarázat

A két x érték a szimmetriatengelytől egyenlő távol van; mindkét függvényérték 3+k.