Függvénytranszformációk · 21. lecke
Jellemezd az alapparabolát és eltolt változatait.
Az f(x) = x² függvény a valós számokon értelmezett, értékkészlete [0; ∞). Grafikonja az y tengelyre szimmetrikus parabola. Minimuma 0, minimumhelye x = 0. Negatív bemenet is nemnegatív kimenetet ad; x és −x ugyanahhoz az értékhez tartozik.
Az alapparabola (−∞; 0] intervallumon szigorúan csökken, [0; ∞) intervallumon szigorúan nő. A monotonitás a bemenet növelését és a kimenet változását kapcsolja össze. Nem ugyanaz, mint az előjel: a függvény pozitív is lehet ott, ahol csökken. A szélsőérték két monoton szakasz találkozásánál van.
Jellemzéskor sorrendben add meg a tartományt, értékkészletet, zérushelyeket, tengelyt, szélsőértéket és monotonitást. Ha a tartományt egy intervallumra korlátozzuk, a szélsőértékek változhatnak, és maximum is megjelenhet. A csúcspont csak akkor tartozik a vizsgált grafikonhoz, ha a bemenete megengedett.
Változtasd a paramétereket! Figyeld az alapfüggvényt (szürke) és az átalakított grafikont (kék).
1 · (x − (0))² + (0)
A rajzolt ablak: −9 ≤ x ≤ 9 és −10 ≤ y ≤ 10. A görbe az ablakon túl is folytatódhat. Az értelmezési tartomány az összes valós szám.
1. példa
Számítsd ki f(−3), f(0), f(3) értékét, ha f(x) = x².
2. példa
Jellemezd x² szélsőértékeit a [−2; 4] intervallumon.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
f(x) = x². Mennyi f(−5)?
(−5)² = 25.
x² a [2; 5] intervallumon: mennyi a minimum?
Itt a függvény nő; a bal végpontnál 2² = 4.
x² a [−3; 1] intervallumon: mennyi a maximum?
A −3 végpont a legmesszebb van nullától.
Igaz vagy hamis: x² szigorúan nő az egész valós számegyenesen.
A negatív bemeneteken x növekedésekor x² csökken.
f(x)=2(x−5)²−8. Mennyi f(7)?
f(7)=2·2²−8=0.
f(x)=(x−5)²+8. Add meg a csúcspontot x; y sorrendben!
A négyzet x=5-nál nulla, ezért a csúcs (5; 8).
f(x)=−2(x+5)²+8. Mennyi a maximumérték?
A negatív négyzet legfeljebb nulla; a maximum 8, x=−5-nál.
f(x)=(x−5)²−4. Add meg a két zérushelyet!
(x−5)²=4 → x−5=±2.
g(x)=√(x−5). Mi az értelmezési tartomány legkisebb eleme?
x−5≥0 → x≥5.
f(x)=3(x−5)²+8. Mennyi f(4)−f(6)?
A két x érték a szimmetriatengelytől egyenlő távol van; mindkét függvényérték 3+k.