Matematika

Hatványozás és négyzetgyök · 14. lecke

Hatványozás – gyakorlás

Egyszerűsíts egész kitevős kifejezéseket a feltételek megtartásával.

Értsd meg!

Több szabály egymás után

Összetett hatványkifejezésnél először a zárójelen belüli műveletet, majd a külső hatványt kezeljük. Az azonos alapú tényezőket csoportosítsuk, a számokat és a betűs tényezőket külön is rendezhetjük. Osztáskor a nevező teljes kitevőjét vonjuk ki; negatív szám kivonásakor plusz keletkezik.

A kettő hatványai darabszámmal szemléltetve

Balra nyolc, jobbra tizenhat egység látható. A hatványozás ismételt szorzás, nem az alap és kitevő szorzata. A 2³ ezért 8, nem 6.
Balra nyolc, jobbra tizenhat egység látható. A hatványozás ismételt szorzás, nem az alap és kitevő szorzata. A 2³ ezért 8, nem 6.

Betűs kifejezések

Az a³b² · a⁻¹b⁴ kifejezésben az a és a b kitevőit külön adjuk össze. Az a⁻¹ miatt a ≠ 0 szükséges. Ha a kifejezés átalakítás után egyszerűbb, a korábbi értelmezési feltétel akkor sem veszhet el. Az azonosság azokon az értékeken érvényes, ahol az eredeti kifejezés értelmezett.

Önellenőrzés számpéldával

Az általános azonosság bizonyítása helyett nem elég egy számot behelyettesíteni, de hibakereséshez nagyon hasznos. Válassz egyszerű, megengedett számokat, és számold ki az eredeti és a rendezett alakot is. Ha eltérnek, valamelyik átalakítás hibás. Figyeld a zárójelek szerepét és a műveleti sorrendet.

Negatív kitevők: egymást követő felezések

2⁰=1; 2⁻¹=1/2; 2⁻²=1/4; 2⁻³=1/8. A kitevő eggyel csökkentése felezi az értéket. A negatív kitevő nem negatív számot, hanem reciprokot jelent.
2⁰=1; 2⁻¹=12; 2⁻²=14; 2⁻³=18. A kitevő eggyel csökkentése felezi az értéket. A negatív kitevő nem negatív számot, hanem reciprokot jelent.

Amit érdemes megjegyezni

  • aman = aᵐ⁻ⁿ
  • (ab)⁻ⁿ = a⁻ⁿb⁻ⁿ, a,b ≠ 0

Kidolgozott példák

1. példa

Több hatvány

Egyszerűsítsd: (3²)³ · 3⁻⁴.

  1. Hatvány hatványozásakor: (3²)³ = 3⁶.
  2. Szorzáskor 3⁶ · 3⁻⁴ = 3².
  3. 3² = 9.
  4. A 3 nem nulla, minden átalakítás megengedett.

2. példa

Betűs alak

Egyszerűsítsd: a4b−2a−1b3, a,b ≠ 0.

  1. Az a kitevője 4 − (−1) = 5.
  2. A b kitevője −2 − 3 = −5.
  3. Az eredmény a⁵b⁻⁵ = a5b5.
  4. Az eredeti a,b ≠ 0 feltételt megtartjuk.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

(2³)² · 2⁻⁴ értéke?

Megoldás és magyarázat

2⁶ · 2⁻⁴ = 2² = 4.

2. feladat

5−25−4 értéke?

Megoldás és magyarázat

A kitevő −2 − (−4) = 2.

3. feladat

(−3)⁻² értéke?

Megoldás és magyarázat

A páros hatvány pozitív, majd reciprokot veszünk.

4. feladat

Igaz vagy hamis: (a + b)² = a² + b² minden valós a,b-re.

Megoldás és magyarázat

a = b = 1 esetén a bal oldal 4, a jobb oldal 2.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

4³·4² értéke?

Megoldás és magyarázat

Azonos alap: kitevő 3+2=5; 4⁵=1024.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

4644 értéke?

Megoldás és magyarázat

6−4=2, így 4²=16.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

(4²)³ értéke?

Megoldás és magyarázat

2·3=6, ezért 4⁶=4096.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

(-4)³ értéke?

Megoldás és magyarázat

A három negatív tényező szorzata negatív: −64.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

4⁰+4² értéke?

Megoldás és magyarázat

Nem nulla alap esetén 4⁰=1, tehát 1+16=17.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

2−2·2522 értéke?

Megoldás és magyarázat

A kitevő −2+5−2=1, tehát 2¹=2.