Logika · 1. lecke
Ismerd fel az állításokat, és indokold az igazságértéküket.
Logikai állítás olyan kijelentő mondat, amelynek egyértelműen eldönthető az igaz vagy hamis volta. A „17 prímszám” állítás, az „Oldd meg a feladatot!” felszólítás nem az. Az állítás igazságértéke nem a mondat hosszától vagy a beszélő magabiztosságától függ, hanem attól, megfelel-e a vizsgált helyzetnek.
Az „x > 4” nyitott mondat: az x értéke vagy egy pontosan megadott feltétel nélkül nem adható egyetlen igazságérték. A „minden x valós számra x² ≥ 0” viszont már állítás. Mindig tisztázd az alaphalmazt: természetes, egész vagy valós számokról beszélünk? Ugyanaz a kijelentés eltérő alaphalmazokon eltérően viselkedhet.
Egy minden elemre vonatkozó állítást néhány sikeres példával nem bizonyítunk. Cáfolatához viszont egyetlen ellenpélda elegendő. Egy létezést állító mondat igazolásához elég egy megfelelő példát megadni. Ez az aszimmetria a logikus érvelés egyik legfontosabb eszköze.
1. példa
Igaz-e: minden páratlan természetes szám prímszám?
2. példa
Vizsgáld: „x + 2 = 7” és „Van egész x, amelyre x + 2 = 7”.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
Igaz vagy hamis: minden 10-zel osztható egész szám osztható 5-tel.
Ha n = 10k, akkor n = 5 · 2k, tehát 5-tel osztható.
Igaz vagy hamis: minden páros természetes szám összetett szám.
A 2 páros, de prímszám; ez ellenpélda.
Igaz vagy hamis: van olyan egész szám, amelynek négyzete 49.
A 7 és a −7 négyzete is 49. Egyetlen példa is elég.
Adj egy 1-nél nagyobb páratlan összetett számot 10 alatt!
A 9 = 3 · 3 páratlan és összetett.
Igaz vagy hamis: 9 páros akkor és csak akkor, ha 3 páros.
Egész szám négyzete az eredeti szám párosságát őrzi meg.
P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis: P ∧ Q?
Az ÉS igazságához mindkét rész igazsága szükséges.
P igaz, Q hamis. Igaz vagy hamis: P ∨ Q?
A megengedő VAGY-nál legalább egy igaz rész elegendő.
Hány sora van egy három állításból készített teljes igazságtáblának?
Mindhárom állítás kétféle lehet: 2³=8 kombináció.
Hány sorban igaz a P ∧ ¬Q kétváltozós teljes igazságtáblája?
Csak a P igaz, Q hamis sorban.
Igaz vagy hamis: a P ∨ ¬P állítás minden esetben igaz.
Ha P igaz, az első rész; ha P hamis, a második rész igaz.