Egyenletek és egyenlőtlenségek · Ráadás
Kapcsold össze az együtthatókat a gyökök összegével és szorzatával.
Két valós gyök esetén a(x−r₁)(x−r₂)=ax²−a(r₁+r₂)x+ar₁r₂. Az együtthatókat összehasonlítva r₁+r₂=− és r₁r₂=. Kétszeres gyöknél ugyanazt a gyököt kétszer számítjuk. Az összefüggések a gyökök ismerete nélkül is kiszámítanak két fontos jellemzőt.
Főegyüttható 1 esetén olyan két számot keresünk, amelyek összege −b és szorzata c. Egész konstansnál az egész gyökök a konstans osztói között lehetnek. Ez csak az egész jelöltek keresését egyszerűsíti, nem bizonyítja, hogy minden gyök egész. Ha nem találunk megfelelő párt, a megoldóképlet továbbra is használható.
Adott gyökökből az (x−r₁)(x−r₂)=0 egyenlet kiindulópont. Bármely nem nulla főegyütthatóval megszorozhatjuk, a gyökök nem változnak. Mielőtt valós gyökökről beszélünk, a diszkriminánst is ellenőrizhetjük. Az összeg és szorzat önmagukban csak akkor felelnek meg valós gyököknek, ha a belőlük képzett egyenletnek van valós megoldása.
1. példa
x²−11x+28=0.
2. példa
2x²−9x+4=0.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
3x²−12x+6=0 gyökeinek összege?
−=4.
Ugyanennek az egyenletnek a gyökszorzata?
=2.
x²−8x+15=0 gyökei?
3+5=8 és 3·5=15.
Gyökök 2 és 6, főegyüttható 1. Mennyi az x együtthatója?
x²−8x+12.
2x²−14x+20=0 gyökeinek összege?
−=−=7.
2x²−14x+20=0 gyökeinek szorzata?
==10.
Az egyik gyök 2, a gyökök összege 7. Mennyi a másik?
7−2=5.
Az egyik gyök 2, a szorzat 10. Mennyi a másik?
=5.
A gyökök 2 és 5. A főegyüttható 1. Mennyi az x tag együtthatója?
(x−2)(x−5)=x²−7x+10.
A gyökök 2 és 5. Mennyi a gyökök négyzeteinek összege?
(x₁+x₂)²−2x₁x₂=49−20=29.
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.