Matematika · II. kötet

Egyenletek és egyenlőtlenségek · 64. lecke

Polinom gyöktényezős alakja

Alakíts szorzattá, és tartsd meg az értelmezési tartományt egyszerűsítéskor.

Értsd meg!

Gyök és tényező

Ha r egy polinom gyöke, a polinomot x−r tényezővel lehet felírni. Másodfokú kifejezésnél két valós gyök esetén ax²+bx+c=a(x−r₁)(x−r₂). A főegyütthatót nem hagyhatjuk el, különben egy másik polinomot kapunk. Kétszeres gyöknél a(x−r)² adódik. D<0 esetén valós elsőfokú tényezőkre ez a másodfokú polinom nem bontható.

Másodfokú kifejezés előjele a két gyök körül

A két tényező x<5 esetén mindkettő negatív, x>8 esetén mindkettő pozitív: a szorzat pozitív. A két gyök között ellentétes előjelűek, a szorzat negatív. A gyökökben az érték nulla; a végpontok bevételét a reláció dönti el.
A két tényező x<5 esetén mindkettő negatív, x>8 esetén mindkettő pozitív: a szorzat pozitív. A két gyök között ellentétes előjelűek, a szorzat negatív. A gyökökben az érték nulla; a végpontok bevételét a reláció dönti el.

Egyenlet és függvény

A szorzat alakból könnyen olvashatók a zérushelyek és előjelek. Az a szorzó meghatározza a nyitás irányát és a függőleges nyújtást, a gyökök pedig a tengelymetszéseket. Ugyanazok a gyökök több különböző függvényhez tartozhatnak: (x−1)(x−4) és 3(x−1)(x−4) nem azonos polinom.

Törtek egyszerűsítése

Polinomtörtben először megadjuk a nevező nullhelyei által kizárt értékeket, utána szorzattá alakítunk. Csak közös tényezővel egyszerűsítünk, taggal nem. Az x2−9x−3 egyszerűsítve x+3, de x=3 továbbra is kizárt. Az egyszerűsítés a megengedett tartományon őrzi meg a kifejezés értékét.

Teljes négyzet: a két téglalap és a saroknégyzet

Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.
Az x oldalú négyzet mellé két ax területű téglalapot illesztünk. A teljes (x+a) oldalú négyzethez még a² területű sarok hiányzik. Ez magyarázza a teljes négyzetté kiegészítés tagját; a területábra x>0, a>0 esetén szó szerinti, az azonosság minden valós x,a-ra igaz.

Amit érdemes megjegyezni

  • ax²+bx+c=a(x−r₁)(x−r₂).
  • Egyszerűsítés után az eredeti kizárások megmaradnak.

Kidolgozott példák

1. példa

Főegyüttható

Alakítsd szorzattá 2x²−10x+12-t!

  1. Kiemelve 2(x²−5x+6).
  2. A belső gyökök 2 és 3.
  3. Eredmény 2(x−2)(x−3), visszaszorozva ellenőrizhető.

2. példa

Kizárt érték

Egyszerűsítsd x2−16x−4-et!

  1. Az eredeti nevező miatt x≠4.
  2. Számláló (x−4)(x+4).
  3. Eredmény x+4, x≠4. Nem kapunk értéket a kiesett helyen.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

Az x²−9x+20 gyökei?

Megoldás és magyarázat

(x−4)(x−5), tehát 4 és 5.

2. feladat

3(x−2)(x−5) kifejtve mi az x együtthatója?

Megoldás és magyarázat

3(x²−7x+10)=3x²−21x+30.

3. feladat

x2−25x−5 egyszerűsítésénél mely x kizárt?

Megoldás és magyarázat

Az eredeti nevező 5-nél nulla.

4. feladat

Az (x−3)² polinom kétszeres gyöke?

Megoldás és magyarázat

x=3-nál mindkét azonos tényező nulla.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

x²−64=(x−A)(x+A). Mennyi A pozitív értéke?

Megoldás és magyarázat

A két négyzet különbsége: A²=64, ezért A=8.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Az x²−19x+88 polinom gyökei?

Megoldás és magyarázat

(x−8)(x−11); összeg 19, szorzat 88.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

8(x−11)(x+1) kibontásának x² együtthatója?

Megoldás és magyarázat

A vezetőtag az a·x·x szorzatból keletkezik.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

x2−64x−8 egyszerűsítésénél mely x kizárt?

Megoldás és magyarázat

Az alak x+8, de x=8 az eredeti nevező miatt továbbra is kizárt.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

x²+19x+88 gyökei?

Megoldás és magyarázat

(x+8)(x+11); mindkét gyök negatív.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: az x²+1 polinomnak van valós lineáris gyöktényezős felbontása.

Megoldás és magyarázat

Valós gyöke nincs, mert x²+1≥1. A valós számok között két lineáris tényezőre nem bontható.

Visszajelzés erről a leckéről

Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.

Értékelés, 1–5

Név és e-mail-cím megadása nem szükséges. Más tanulók értékelései és megjegyzései nem jelennek meg ezen az oldalon.