Egyenletek és egyenlőtlenségek · 63. lecke
Kapcsold össze az algebrai megoldást a szöveges feladat tartományával.
Ha két kifejezés nagyságát hasonlítjuk össze, a különbségüket vizsgáljuk. f(x)≥g(x) ugyanaz, mint f(x)−g(x)≥0. A nullhelyek a grafikonok metszései, az előjelek a köztük lévő függőleges sorrendet mutatják. Az egyenlőségre kapott megoldás csak a határhelyeket jelzi.
Darabszámnál nemnegatív egész számok, hosszúságnál pozitív valós számok jöhetnek szóba. Ha az algebrai megoldás (2;8), egész darabszámként 3,4,5,6,7 a megoldás. Az eredményből ezért mindig metszetet kell képezni a valós feladat tartományával. A legnagyobb bevétel és legnagyobb nyereség eltérhet, mert a nyereségben a költség is szerepel.
Válassz próbapontot minden előjeltartományból és nézd meg a végpontokat. A szigorú reláció kizárja az egyenlőséget adó határt. Ha a feladat a maximális értéket kéri, a parabola csúcsát is vizsgáld. Korlátozott tartományban a csúcs lehet kívül, ekkor a határhelyek is fontosak.
Változtasd a paramétereket! Figyeld az alapfüggvényt (szürke) és az átalakított grafikont (kék).
1 · (x − (0))² + (0)
A rajzolt ablak: −9 ≤ x ≤ 9 és −10 ≤ y ≤ 10. A görbe az ablakon túl is folytatódhat. Az értelmezési tartomány az összes valós szám.
1. példa
P(x)=−x²+10x−16, x nemnegatív egész. Mikor pozitív?
2. példa
Mikor x²≤4x?
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
x²≤6x−8 megoldása zárt intervallumban?
x²−6x+8=(x−2)(x−4)≤0.
P(x)=−x²+10x−16. Hány nemnegatív egész x esetén P(x)>0?
3,4,5,6,7: öt darab.
P(x)=−x²+10x−16 maximumhelye?
A zérushelyek középpontja =5.
Ugyanennek a P-nek a maximális értéke?
P(5)=−25+50−16=9.
(x−7)(x−10)≤0 megoldáshalmaza? Intervallummal válaszolj!
A gyökök 7 és 10. A szorzat közöttük negatív, a végpontokon nulla; a megoldás [7;10].
(x−7)(x−10)<0 megoldáshalmaza?
Szigorú egyenlőtlenség: a gyökök nem kerülnek a megoldásba.
−(x−7)(x−10)≥0 megoldáshalmaza?
A negatív előjel megfordítja az előjelet; a két gyök közötti szakasz megfelelő.
(x−7)²≤0 esetén mi az egyetlen megoldás?
A négyzet csak nullaként lehet nempozitív: x=7.
(x−7)²+10<0 hány valós x-re teljesül?
A bal oldal legalább 10>0, ezért egyetlen valós x-re sem.
Igaz vagy hamis: (x−7)(x−10)>0 megoldásai között ott van x=11.
11>10>7, így mindkét tényező pozitív.
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.