Egyenletek és egyenlőtlenségek · 62. lecke
A parabola és az előjelek segítségével adj meg teljes megoldáshalmazokat.
A másodfokú egyenlőtlenséget először ax²+bx+c ⋚ 0 alakra rendezzük. A megoldóképlet a zérushelyeket adja, de az egyenlőtlenség megoldása rendszerint intervallum, nem csupán néhány pont. Negatív számmal szorzáskor a relációs jel iránya megfordul. A függvény főegyütthatója megmutatja, felfelé vagy lefelé nyílik-e a parabola.
Ha a>0 és r₁<r₂ két gyök, a kifejezés a gyökök között negatív, kívül pozitív. Ha a<0, fordított a helyzet. Az = lehetőséget megengedő relációnál a megfelelő gyököket is felvesszük. Intervallumjelölésben a szögletes zárójel a befoglalást, a kerek a kizárást jelenti; végtelennél mindig nyitott a végpont.
D<0 esetén nincs zérushely, ezért az előjel a főegyütthatóé minden valós x-nél. D=0 esetén a parabola érinti a tengelyt: a kifejezés a gyökben nulla, másutt a főegyüttható előjelű. Például (x−2)²≤0 csak x=2-t enged, míg (x−2)²<0-nak nincs valós megoldása. Egy próbapont hasznos ellenőrzés, de nem helyettesíti az összes tartomány vizsgálatát.
Változtasd a paramétereket! Figyeld az alapfüggvényt (szürke) és az átalakított grafikont (kék).
1 · (x − (0))² + (0)
A rajzolt ablak: −9 ≤ x ≤ 9 és −10 ≤ y ≤ 10. A görbe az ablakon túl is folytatódhat. Az értelmezési tartomány az összes valós szám.
1. példa
Oldd meg x²−5x+6≤0-t!
2. példa
Oldd meg x²+4>0-t!
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
x²−7x+12≤0. Írd a megoldást zárt intervallumként!
(x−3)(x−4)≤0, tehát [3;4].
(x−5)²≤0. Mi az egyetlen megoldás?
A négyzet csak nullaként lehet nempozitív.
x²+2<0. Írd a megoldást!
A kifejezés legalább 2.
−2-vel szorozva egy egyenlőtlenség két oldalát a jel iránya megfordul. Igaz vagy hamis?
Negatív szorzó megfordítja a sorrendet.
(x−6)(x−9)≤0 megoldáshalmaza? Intervallummal válaszolj!
A gyökök 6 és 9. A szorzat közöttük negatív, a végpontokon nulla; a megoldás [6;9].
(x−6)(x−9)<0 megoldáshalmaza?
Szigorú egyenlőtlenség: a gyökök nem kerülnek a megoldásba.
−(x−6)(x−9)≥0 megoldáshalmaza?
A negatív előjel megfordítja az előjelet; a két gyök közötti szakasz megfelelő.
(x−6)²≤0 esetén mi az egyetlen megoldás?
A négyzet csak nullaként lehet nempozitív: x=6.
(x−6)²+9<0 hány valós x-re teljesül?
A bal oldal legalább 9>0, ezért egyetlen valós x-re sem.
Igaz vagy hamis: (x−6)(x−9)>0 megoldásai között ott van x=10.
10>9>6, így mindkét tényező pozitív.
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.