Statisztika és valószínűségszámítás · Ráadás
Értsd meg két pozitív szám kétféle közepét és az alapvető egyenlőtlenséget.
Két pozitív szám számtani közepe A=, mértani közepe G=√(ab). A számtani közép az összeget, a mértani közép a szorzatot őrzi meg: 2A=a+b és G²=ab. Azonos növekedési tényezők keresésénél ezért a mértani közép a megfelelő fogalom. A két szám különbsége és hányadosa más jellegű viszonyt ír le.
Pozitív a,b esetén (√a−√b)²≥0. Kibontva a+b−2√(ab)≥0, tehát ≥√(ab). Egyenlőség pontosan akkor van, ha a=b. Az állítás nem azt mondja, hogy bármely tetszőleges átlag mindig nagyobb bármely másiknál: a feltételek és az összehasonlított adatok azonos volta lényeges.
Rögzített pozitív összegű két szám szorzata akkor a legnagyobb, ha egyenlők. Ezért adott kerületű téglalapok között a négyzet területe maximális. Rögzített szorzat mellett a két pozitív szám összege az egyenlő esetben minimális. A feltételekhez illesztett átfogalmazás gyakran megspórolja a hosszú egyenletmegoldást.
1. példa
a=4, b=16.
2. példa
Egy téglalap kerülete 40 cm. Mi a maximális terület?
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
9 és 25 számtani közepe?
=17.
9 és 25 mértani közepe?
√225=15.
Két pozitív szám összege 12. Mennyi a maximális szorzat?
6·6=36.
A számtani és mértani közép egyenlő 7 és 7 esetén. Igaz vagy hamis?
Mindkettő 7.
49 és 100 mértani közepe?
G=√(49·100)=70.
49 és 100 számtani közepe?
A==74.5.
Igaz vagy hamis: két pozitív szám számtani közepe kisebb lehet a mértani közepüknél.
A≥G; egyenlőség csak azonos számokra áll fenn.
Két pozitív szám összege 14. Mennyi lehet szorzatuk maximuma?
xy≤()²=49; az egyenlőség x=y=7-nál áll fenn.
7 és x mértani közepe 14. Mennyi x?
√(7x)=14; 7x=196; x=28.
Egy téglalap kerülete 28 cm. A maximális területű ilyen téglalap oldala hány cm?
A két oldal összege 2a, szorzata azonos oldalaknál maximális. A téglalap négyzet.
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.