Egyenletek és egyenlőtlenségek · Ráadás
Oldj meg összeget, szorzatot és négyzetösszeget tartalmazó rendszereket.
Az x+y=s és xy=p feltételek azt mondják, hogy x,y a t²−st+p=0 egyenlet gyökei. Rendezett pár esetén mindkét sorrendet fel kell írni, ha x≠y. Ha a feladat két oldalhosszt keres, a sorrend gyakran nem jelent külön geometriai megoldást. Ezt a válaszban külön mondd ki.
Az (x+y)²=x²+2xy+y² azonosság összeköti az összeget, szorzatot és négyzetösszeget. Derékszögű háromszögnél x²+y² az átfogó négyzete, xy a terület kétszerese. Pozitív oldalak esetén x+y pozitív gyökből adódik. Nem kell feltétlenül negyedfokú egyenlethez jutni: az azonosság rövidebb utat kínál.
Minden párt helyettesíts be mindkét eredeti egyenletbe. A négyzetösszeg előjeles megoldásokat is engedhet, amelyeket a hosszúsági feltétel kizár. Ha helyettesítéssel x²=u új változót vezetsz be, u≥0 feltétel szükséges, és x=±√u visszahelyettesítését sem szabad kihagyni.
1. példa
x+y=13 és xy=40.
2. példa
A befogók szorzata 60, négyzetösszegük 169. Pozitív befogókat keresünk.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
Két pozitív szám összege 9, szorzata 20. Add meg őket!
t²−9t+20=(t−4)(t−5).
x+y=10, xy=24. Mennyi x²+y²?
100−2·24=52.
Befogók 6 és 8. Hány cm² a terület?
6·=24.
x+y=6, xy=9. Mennyi x?
t²−6t+9=(t−3)², így x=y=3.
x+y=11, xy=28. A két pozitív koordináta közül mennyi a kisebb?
t²−11t+28=0; gyökök 4 és 7, a kisebb 4.
x=y és x²+y²=32. Add meg az összes lehetséges x értéket!
2x²=32 → x=±4. Mindkét esetben y=x.
y=x² és y=16. Add meg az összes x értéket!
x²=16, tehát x=±4.
x+y=11, x²+y²=65. Mennyi xy?
(x+y)²=x²+y²+2xy → xy==28.
Hány valós megoldáspárja van x²+y²=−1-nek?
Két valós négyzet összege nemnegatív.
x+y=11, xy=28. Hány különböző rendezett megoldáspár van?
(4;7) és (7;4); a≠b, ezért két pár.
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.