Matematika · II. kötet

Egyenletek és egyenlőtlenségek · 66. lecke

Gyakorlás, tudáspróba – egyenletek

Rendszerezd a fejezet módszereit, majd oldd meg önállóan az összefoglaló feladatokat.

Értsd meg!

Átalakítások rendszere

A mérlegelv és a szorzat nulla szabálya közvetlenül megőrzi a megoldásokat a szükséges feltételekkel. Négyzetre emelés hamis gyököt, változós osztás gyökvesztést okozhat. A tartományt a rendezés előtt rögzítsd. A gyökös egyenletek végén az eredeti alakba való behelyettesítés kötelező.

Másodfokú kifejezés előjele a két gyök körül

A két tényező x<5 esetén mindkettő negatív, x>8 esetén mindkettő pozitív: a szorzat pozitív. A két gyök között ellentétes előjelűek, a szorzat negatív. A gyökökben az érték nulla; a végpontok bevételét a reláció dönti el.
A két tényező x<5 esetén mindkettő negatív, x>8 esetén mindkettő pozitív: a szorzat pozitív. A két gyök között ellentétes előjelűek, a szorzat negatív. A gyökökben az érték nulla; a végpontok bevételét a reláció dönti el.

Másodfokú kapcsolatok

A megoldóképlet, gyöktényezős alak és Viète-formulák ugyanannak az összefüggésnek különböző nézetei. A gyökök meghatározzák a tengelymetszéseket, a főegyüttható a nyitás irányát. A kifejezés előjele intervallumonként vizsgálható. Az egyenlet gyökei és az egyenlőtlenség megoldáshalmaza nem azonos fogalom.

Modellezés és indoklás

Szöveges feladatban az algebrai eredményből a megengedett tartományt kell kiválasztani. Nyereséghez bevételből költséget vonunk; a maximumhely és maximumérték külön adat. Intervallum végpontjának befoglalását a reláció határozza meg. A gyakorlásban szóban is indokold, miért vetettél el egy jelöltet vagy miért választottál adott tartományt.

Gyökös egyenlet két grafikon metszéseként

A √(x+2)=x egyenlet grafikonjai a (2;2) pontban találkoznak. A négyzetre emeléssel kapott −1 nem megoldás: a jobb oldal negatív, a bal oldal nemnegatív. Az eredeti egyenletbe való visszahelyettesítés nélkülözhetetlen.
A √(x+2)=x egyenlet grafikonjai a (2;2) pontban találkoznak. A négyzetre emeléssel kapott −1 nem megoldás: a jobb oldal negatív, a bal oldal nemnegatív. Az eredeti egyenletbe való visszahelyettesítés nélkülözhetetlen.

Amit érdemes megjegyezni

  • Először tervet készíts, utána számolj, végül ellenőrizd a feltételeket.
  • A megoldás megnyitása előtt próbálj önálló indoklást írni.

Kidolgozott példák

1. példa

Módszerválasztás

(x−6)²<0 megoldása?

  1. Azonosítsd a megadott adatokat és a keresett mennyiséget.
  2. Az előjel dönt.
  3. Négyzet nem negatív.

2. példa

Második ellenőrzött példa

2x²−14x+20=0 gyökösszege?

  1. Viète: −ba.
  2. 142=7.
  3. Ellenőrizd, hogy az eredmény a kérdésnek megfelelő formátumú.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

(x−6)²<0 megoldása?

Megoldás és magyarázat

Négyzet nem negatív.

2. feladat

2x²−14x+20=0 gyökösszege?

Megoldás és magyarázat

142=7.

3. feladat

Ugyanennek gyökszorzata?

Megoldás és magyarázat

202=10.

4. feladat

x2−49x−7 egyszerűsítésénél mely x marad kizárt?

Megoldás és magyarázat

Az eredeti nevező 7-nél nulla.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: x²−13x+40=0.

Megoldás és magyarázat

(x−5)(x−8)=0; ezért x=5 vagy x=8.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Oldd meg: 2x²−26x+80=0.

Megoldás és magyarázat

Kettővel osztva x²−13x+40=0. A gyökök 5, 8.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

(x−5)(x−8)≤0 megoldáshalmaza? Intervallummal válaszolj!

Megoldás és magyarázat

A gyökök 5 és 8. A szorzat közöttük negatív, a végpontokon nulla; a megoldás [5;8].

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Oldd meg: √(x+5)=8.

Megoldás és magyarázat

x+5=64 → x=59. Behelyettesítve √64=8.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

2x²−26x+80=0 gyökeinek összege?

Megoldás és magyarázat

−ba=−−262=13.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

x2−25x−5 egyszerűsítésénél mely x kizárt?

Megoldás és magyarázat

Az alak x+5, de x=5 az eredeti nevező miatt továbbra is kizárt.

Visszajelzés erről a leckéről

Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.

Értékelés, 1–5

Név és e-mail-cím megadása nem szükséges. Más tanulók értékelései és megjegyzései nem jelennek meg ezen az oldalon.