Ráadás – Magasságtétel és befogótétel – II. kötet

Értsd meg!

Jelölések

A derékszögű háromszög átfogója c. Az átfogóra állított magasság m, a két átfogószelet p és q, így c=p+q. Az a befogó merőleges vetülete p, a b befogóé q. A nagy háromszög és a két kisebb derékszögű háromszög hasonló, mert két-két szögük egyenlő.

Az átfogó 25, részei 9 és 16. A magasság √(9·16)=12. A befogók √(25·9)=15 és √(25·16)=20. Az ábra arányhelyes; a három kisebb-nagyobb derékszögű háromszög hasonlósága adja a tételeket.

Tételek és megfeleltetés

A magasságtétel m²=pq. A befogótételek a²=cp és b²=cq. Mindhárom pozitív hossz mértani középpel is kifejezhető. A befogóhoz a saját vetületét kell párosítani: ez a rajzból olvasható, nem pusztán a betűből. A magasság nem p és q számtani közepével egyenlő.

Kapcsolat a területtel

A terület $\frac{a b}{2}$ és $\frac{c m}{2}$ is lehet, ezért ab=cm. A tételek összegéből a²+b²=c(p+q)=c², vagyis a Pitagorasz-tétel is visszakapható. Ha a befogók és átfogó ismertek, p= $\frac{a^{2}}{c}$ , q= $\frac{b^{2}}{c}$ és m= $\frac{a b}{c}$ gyorsan kiszámítható. A képletek erre a derékszögű helyzetre vonatkoznak.

A nagy háromszög minden megfelelő oldala kétszer akkora: 3→6, 4→8, 5→10. A kerület is kétszeres, de a terület négyszeres. Az ábra méretaránya is 2:1.

Amit érdemes megjegyezni

m²=pq; a²=cp; b²=cq; c=p+q.
ab=cm.

Kidolgozott példák

1. példa

Átfogószeletek

p=9 cm, q=16 cm. Add meg c,m,a,b értékét!

c=25 cm, m=√144=12 cm.
a=√(25·9)=15 cm, b=√(25·16)=20 cm.
15²+20²=25², így a számítás ellenőrizhető.

2. példa

Befogókból

Befogók 8 és 15 cm, átfogó 17 cm.

p= $\frac{64}{17}$ cm, q= $\frac{225}{17}$ cm.
m=8· $\frac{15}{17}$ = $\frac{120}{17}$ cm.
p+q= $\frac{289}{17}$ =17 cm.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

p=4, q=9 cm. Hány cm m?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

√36=6.

2. feladat

p=4, q=9 cm. Hány cm az átfogó?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

4+9=13.

3. feladat

c=20 cm, p=5 cm. Hány cm a p-hez tartozó befogó?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

√(20·5)=10.

4. feladat

a=6, b=8, c=10 cm. Hány cm az átfogómagasság?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

$\frac{a b}{c}$ = $\frac{48}{10}$ =4,8.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Az átfogón a magasság talppontja p=4, q=9 cm-es részeket jelöl ki. Hány cm a magasság?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

h²=pq=36 → h=6 cm.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

Az átfogó c=25 cm, az egyik befogó vetülete p=9 cm. Hány cm ez a befogó?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

a²=cp=225 → a=15 cm.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

p=9 és q=16 cm. Hány cm a magasság?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

h²=pq=144 → h=12 cm.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

p=9 és q=16 cm. Hány cm a p vetülethez tartozó befogó?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

c=25, a²=25·9=225 → a=15 cm.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Ugyanebben a háromszögben mekkora a másik befogó cm-ben?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

b²=25·16=400 → b=20 cm.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: a magasságtétel minden háromszög bármely magasságára alkalmazható.

Válaszod

Megoldás és magyarázat

A tétel a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságára vonatkozik.

Magasságtétel és befogótétel

Értsd meg!

Jelölések

Magasság- és befogótétel derékszögű háromszögben

Tételek és megfeleltetés

Kapcsolat a területtel

Hasonló háromszögek: hossz és terület

Amit érdemes megjegyezni

Kidolgozott példák

Átfogószeletek

Befogókból

Ellenőrizd magad!

1. feladat

2. feladat

3. feladat

4. feladat

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Visszajelzés erről a leckéről