Hasonlóság · 72. lecke
Ismerd fel a hasonlósági alapeseteket, és számíts ismeretlen oldalakat.
Két háromszög hasonló, ha két-két megfelelő szög egyenlő; ha három megfelelő oldaluk arányos; ha két megfelelő oldalpár aránya azonos és közbezárt szögük egyenlő; vagy ha két oldalpár aránya azonos és a nagyobbikkal szemközti szögük egyenlő. A harmadik és negyedik esetben a szög pontos helye lényeges.
Először igazold a hasonlóságot az alapeset feltételeivel. Ezután írd fel a megfelelő csúcsok sorrendjét és oldalak hányadosát. Ha ABC~DEF, akkor ==. Egy aránypárba ne keverd a kis/nagy és nagy/kis irányt. A szögegyenlőségeket párhuzamos egyenesek vagy csúcsszögek is biztosíthatják.
Az ABC háromszög AB és AC oldalán D és E pont úgy helyezkedik el, hogy DE∥BC. Ekkor ADE~ABC az egyenlő megfelelő szögek miatt. ==. Ha csak DB ismert, AB=AD+DB; a teljes és részszakaszt különböztesd meg. A kisebb háromszög területaránya a hosszarány négyzete.
A′=(1,5; 1,5), B′=(6; 1,5), C′=(1,5; 4,5).
Hosszarány: 1,5; területarány: 2,25.
A képpontok az eredetivel azonos félegyenesen vannak.
Szürke: eredeti, kék: kép. Egy rácsköz 1 egység. Figyeld meg k=−1-nél a középpontos tükrözést és k=0,5-nél a kicsinyítést.
1. példa
ABC oldalai 6,8,10; DEF megfelelő oldalai 9,12,15.
2. példa
AB=15, AD=6, AC=20, BC=25 cm és DE∥BC.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
AB=18, AD=6, BC=24, DE∥BC. Mennyi DE cm-ben?
·24=8.
Két háromszög két-két szöge egyenlő. Biztosan hasonlók?
Ez a szög–szög alapeset.
Kis/nagy oldalhányados 0,4. Mennyi a kis/nagy területarány?
0,4²=0,16.
AB=20, AD=8, AC=30, DE∥BC. Mennyi EC cm-ben?
AE=·30=12, EC=30−12=18.
Hasonló háromszögek hosszaránya 7. A kisebb oldal 3 cm. Mennyi a megfelelő nagyobb oldal?
7·3=21 cm.
A kisebb kerület 20 cm, a hosszarány 7. Mennyi a nagyobb kerület?
A kerület is 7-szoros: 140 cm.
A kisebb terület 10 cm², a hosszarány 7. Mennyi a nagyobb terület?
Területarány 7²=49; T₂=490.
A területek aránya 49. Mennyi a megfelelő kerületek aránya?
A hosszarány √49=7; a kerület ugyanígy változik.
Igaz vagy hamis: két háromszög két-két megfelelő szögének egyenlősége elegendő a hasonlósághoz.
A harmadik szög a 180°-os szögösszeg miatt is egyenlő; ez a szög–szög alapeset.
Két hasonló háromszög megfelelő oldalai 7 és 14. A kisebb másik oldala 10. Mennyi a nagyobb megfelelő oldala?
A hosszarány 2; a másik oldal 20.
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.