Hasonlóság · 70. lecke
Állapítsd meg a megfelelő oldalak közös arányát és a méretváltozás következményeit.
Két alakzat hasonló, ha egy hasonlósági transzformáció az egyiket a másikba viszi. Ez például középpontos hasonlóság és egybevágósági transzformáció összetétele lehet. A megfelelő szögek egyenlők, a megfelelő hosszúságok közös pozitív arány szerint változnak. Az egybevágóság a hasonlóság speciális esete, hosszaránya 1.
A csúcsok sorrendje meghatározza az oldalak párosítását. Háromszögben a legnagyobb szöggel szemben a leghosszabb oldal áll, ezért ez segíti a megfeleltetést. Téglalapoknál a hosszabb oldalak egymással és a rövidebbek egymással alkossanak azonos arányt. Azonos terület vagy kerület önmagában nem bizonyít hasonlóságot.
Hasonló alakzatok kerületaránya λ, területaránya λ². Hasonló testek felszínaránya λ², térfogataránya λ³. Ha területarány adott, a hosszarány a pozitív négyzetgyök; térfogatarányból pozitív köbgyök kell. A hasonló testek térfogatszabálya csak akkor alkalmazható, ha minden lineáris méret ugyanazzal a tényezővel változik.
A′=(1,5; 1,5), B′=(6; 1,5), C′=(1,5; 4,5).
Hosszarány: 1,5; területarány: 2,25.
A képpontok az eredetivel azonos félegyenesen vannak.
Szürke: eredeti, kék: kép. Egy rácsköz 1 egység. Figyeld meg k=−1-nél a középpontos tükrözést és k=0,5-nél a kicsinyítést.
1. példa
4×6 és 10×15 méretű téglalapok hasonlók-e?
2. példa
Két hasonló háromszög területe 18 és 72 cm². A kisebb egyik oldala 5 cm.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
Hosszarány 3. Mennyi a területarány?
3²=9.
Területarány 16. Mennyi a hosszarány?
√16=4.
Térfogatarány 27. Mennyi a hosszarány?
3³=27.
A 3×5 és 6×11 téglalap hasonló. Igaz vagy hamis?
=2, de =2,2.
Hasonló háromszögek hosszaránya 3. A kisebb oldal 3 cm. Mennyi a megfelelő nagyobb oldal?
3·3=9 cm.
A kisebb kerület 12 cm, a hosszarány 3. Mennyi a nagyobb kerület?
A kerület is 3-szoros: 36 cm.
A kisebb terület 6 cm², a hosszarány 3. Mennyi a nagyobb terület?
Területarány 3²=9; T₂=54.
A területek aránya 9. Mennyi a megfelelő kerületek aránya?
A hosszarány √9=3; a kerület ugyanígy változik.
Igaz vagy hamis: két háromszög két-két megfelelő szögének egyenlősége elegendő a hasonlósághoz.
A harmadik szög a 180°-os szögösszeg miatt is egyenlő; ez a szög–szög alapeset.
Két hasonló háromszög megfelelő oldalai 3 és 6. A kisebb másik oldala 6. Mennyi a nagyobb megfelelő oldala?
A hosszarány 2; a másik oldal 12.
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.