Matematika · II. kötet

Hasonlóság · 69. lecke

Geometriai hozzárendelések

Hasonlítsd össze a hasonlóságot a merőleges és párhuzamos vetítéssel.

Értsd meg!

Pontokhoz képpontok

A geometriai hozzárendelés pontokhoz rendel képpontokat egy adott szabállyal. Meg kell adni az értelmezési tartományt és a képpontképzést. Eltolásnál minden pont ugyanazzal a vektorral mozdul el. Hasonlóságnál minden távolság egy közös tényezővel változik. Különböző hozzárendelések más tulajdonságokat őrizhetnek meg.

Középpontos nagyítás sugárirányú szerkesztéssel

A kisebb háromszög minden csúcsának O-tól mért távolságát 2,5-tel szorozzuk. Az új csúcsok az eredeti pontokkal azonos félegyenesre esnek. A megfelelő oldalak párhuzamosak; a negatív arány az ellenkező félegyenesre adna képet.
A kisebb háromszög minden csúcsának O-tól mért távolságát 2,5-tel szorozzuk. Az új csúcsok az eredeti pontokkal azonos félegyenesre esnek. A megfelelő oldalak párhuzamosak; a negatív arány az ellenkező félegyenesre adna képet.

Merőleges vetítés

Pont merőleges vetülete egy egyenesen a pontból az egyenesre bocsátott merőleges talppontja. A térben egy síkra ugyanígy vetíthetünk. Több különböző pontnak lehet ugyanaz a vetülete. Egy függőleges szakasz a vízszintes egyenesre egyetlen pontként vetülhet; ezért a vetítés általában nem távolságtartó és nem hasonlóság.

Műszaki nézet és árnyék

Az elöl-, oldal- és felülnézet egy test különböző síkokra vetített képe. Egyetlen nézetből általában nem rekonstruálható minden méret. Párhuzamos vetítésnél a vetítősugarak párhuzamosak, merőleges vetítésnél ezenfelül a képsíkra is merőlegesek. Árnyékoknál a fény iránya és a tárgy helyzete meghatározó; a látvány torzulhat.

Két egybevágó derékszögű háromszög

Mindkét háromszög befogói 3 és 4, átfogója 5 egység. A három megfelelő oldal egyenlő, ezért egybevágók. Az ábrán azonos a méretük; a helyzetük nem része az egybevágóság feltételének.
Mindkét háromszög befogói 3 és 4, átfogója 5 egység. A három megfelelő oldal egyenlő, ezért egybevágók. Az ábrán azonos a méretük; a helyzetük nem része az egybevágóság feltételének.

Amit érdemes megjegyezni

  • Merőleges vetítésnél a vetítősugár merőleges a képsíkra.
  • Vetítés általában nem egy-egyértelmű és nem hasonlóság.

Kidolgozott példák

1. példa

Vetület a tengelyre

P=(4;7) pontot az x tengelyre merőlegesen vetítjük.

  1. Az x koordináta változatlan, az y koordináta 0.
  2. P′=(4;0).
  3. A Q=(4;−2) pont vetülete ugyanez, tehát két különböző pont egy képpontot kap.

2. példa

Test nézetei

Egy téglatest élei 4,6,9 cm. A 9 cm függőleges.

  1. Felülnézetben a 4×6 cm-es téglalap látszik.
  2. A megfelelő elölnézet lehet 4×9 cm.
  3. A nézetek együtt adnak információt a három kiterjedésről.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

P=(−3;8) x tengelyre vetített képe x;y sorrendben?

Megoldás és magyarázat

A második koordináta nulla.

2. feladat

P=(5;−2) y tengelyre vetített képe x;y sorrendben?

Megoldás és magyarázat

Az első koordináta nulla.

3. feladat

Egy 7 cm-es szakasz merőleges a képsíkra. Hány cm a vetületének hossza?

Megoldás és magyarázat

Mindkét végpont azonos vetületet kap.

4. feladat

Minden merőleges vetítés távolságtartó. Igaz vagy hamis?

Megoldás és magyarázat

Egy szakasz akár ponttá is válhat.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

P=(2;5) eltolása (2;−1) vektorral. Add meg a képet!

Megoldás és magyarázat

A vektort hozzáadjuk: P′=(4;4).

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

P=(2;5) tükörképe az x tengelyre?

Megoldás és magyarázat

x megmarad, y előjelet vált: (2;-5).

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

P=(2;5) tükörképe az origóra?

Megoldás és magyarázat

Mindkét koordináta előjelet vált.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

P=(2;5) 90°-os, pozitív irányú forgatása az origó körül?

Megoldás és magyarázat

(x;y) → (−y;x), ezért P′=(-5;2).

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: az eltolás megőrzi a szakaszok hosszát.

Megoldás és magyarázat

Az eltolás egybevágósági transzformáció.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: a kétszeres nagyítás megőrzi a területet.

Megoldás és magyarázat

A hossz kétszeres, a terület négyszeres lesz.

Visszajelzés erről a leckéről

Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.

Értékelés, 1–5

Név és e-mail-cím megadása nem szükséges. Más tanulók értékelései és megjegyzései nem jelennek meg ezen az oldalon.