Hasonlóság · 68. lecke
Vizsgáld az arány előjelét, a megőrzött tulajdonságokat és az összetett transzformációkat.
A középpontos hasonlóság aránya nem nulla valós szám lehet. Pozitív k esetén O,P,P′ ugyanazon félegyenesen helyezkednek el. Negatív k esetén P′ az ellenkező félegyenesre kerül, és OP′=|k|·OP. A negatív arány tehát egy |k|-szoros nagyítás vagy kicsinyítés és egy O középpontú tükrözés összetétele.
A hasonlóság szögtartó, aránytartó, egyenestartó. Egy szakasz hossza |k|-szoros, ezért csak |k|=1 esetén távolságtartó. A középponton áthaladó egyenes képe önmaga, más egyenes képe vele párhuzamos. Kör képe kör, sugara |k|·r. A területarány k², térfogatarány |k|³; ezek nem lehetnek negatívak.
Azonos középpontú k₁ és k₂ arányú hasonlóság egymásutánjának aránya k₁k₂. Például kétszeres nagyítást felező kicsinyítéssel visszafordítunk. Koordinátákkal O=(0;0) esetén (x;y) képe (kx;ky). Más O középpontnál P′=O+k(P−O) pontonként alkalmazható.
A′=(1,5; 1,5), B′=(6; 1,5), C′=(1,5; 4,5).
Hosszarány: 1,5; területarány: 2,25.
A képpontok az eredetivel azonos félegyenesen vannak.
Szürke: eredeti, kék: kép. Egy rácsköz 1 egység. Figyeld meg k=−1-nél a középpontos tükrözést és k=0,5-nél a kicsinyítést.
1. példa
O az origó, P=(3;−2), k=−2. Mi P′?
2. példa
Azonos középponttal k₁=−3, k₂=−.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
O origó, P=(2;5), k=−3. Add meg P′ koordinátáit x;y sorrendben!
−3·2=−6, −3·5=−15.
k=−2 esetén hányszoros a terület?
k²=4.
Azonos középpontú 4 és 0,25 arányú két hasonlóság eredő aránya?
4·0,25=1.
k=−1 középpontos tükrözést ad. Igaz vagy hamis?
Azonos távolság az ellenkező félegyenesen.
Középpontos hasonlóság aránya λ=8. Egy 3 cm-es szakasz képe hány cm?
A hossz |λ|-szorosra változik: 8·3=24.
O=(0;0), λ=8, P=(2;3). Add meg P′ koordinátáit!
Az origóból induló vektort 8-szorosra nyújtjuk; P′=(16;24).
O=(0;0), λ=−8, P=(2;3). Add meg P′ koordinátáit!
A negatív arány ellenkező irányba visz, |λ|=8; P′=(-16;-24).
λ=8 esetén hányszorosára nő egy háromszög területe?
A területarány λ²=64.
Igaz vagy hamis: középpontos hasonlóságnál a középpont képe önmaga.
A középpontból önmagába mutató nulla vektor λ-szorosa is nulla.
O=(1;2), λ=2, P=(8;11). Add meg P′ koordinátáit!
OP=(7;9); P′=O+2OP=(15;20).
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.