Hasonlóság · 67. lecke
Szerkeszd meg a képpontokat, és következetesen használd a nagyítás arányát.
Rögzítsünk O középpontot és pozitív k arányt. P képe az OP félegyenes azon P′ pontja, amelyre OP′=k·OP; O képe önmaga. k>1 nagyítás, 0<k<1 kicsinyítés, k=1 az azonosság. Nem az oldalhoz hozzáadott állandó hosszúsággal nagyítunk, hanem minden távolságot ugyanazzal a tényezővel szorzunk.
Az alakzat minden csúcsához húzz félegyenest O-ból, mérd fel a k-szoros távolságot, majd a képpontokat az eredeti sorrendben kösd össze. A középponton nem átmenő oldal képe párhuzamos az eredetivel. Az alak nem torzul, a megfelelő szögek egyenlők. Egy tengelyirányú nyújtás ezzel szemben rendszerint megváltoztatja az alakot.
Minden oldal k-szoros, ezért a kerület is k-szoros. A terület k²-szeres, térbeli test térfogata k³-szoros. 50%-os kicsinyítés a hosszakat felezi, a területet negyedére csökkenti. Arány megadásakor először nevezd meg az irányt: ; fordított irányban a reciprokot kapjuk.
A′=(1,5; 1,5), B′=(6; 1,5), C′=(1,5; 4,5).
Hosszarány: 1,5; területarány: 2,25.
A képpontok az eredetivel azonos félegyenesen vannak.
Szürke: eredeti, kék: kép. Egy rácsköz 1 egység. Figyeld meg k=−1-nél a középpontos tükrözést és k=0,5-nél a kicsinyítést.
1. példa
Egy 8×12 cm-es képet k=2,5 aránnyal nagyítunk.
2. példa
OP=15 cm és k=0,4. Hol van P′?
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
Eredeti oldal 18 cm, k=1,5. Hány cm a képe?
18·1,5=27.
k=0,5 mellett hányszoros a terület?
0,5²=0,25.
OP=7 cm, OP′=21 cm. Mennyi k?
=3.
k=2 mellett hányszoros a térfogat?
2³=8.
Középpontos hasonlóság aránya λ=7. Egy 3 cm-es szakasz képe hány cm?
A hossz |λ|-szorosra változik: 7·3=21.
O=(0;0), λ=7, P=(2;3). Add meg P′ koordinátáit!
Az origóból induló vektort 7-szorosra nyújtjuk; P′=(14;21).
O=(0;0), λ=−7, P=(2;3). Add meg P′ koordinátáit!
A negatív arány ellenkező irányba visz, |λ|=7; P′=(-14;-21).
λ=7 esetén hányszorosára nő egy háromszög területe?
A területarány λ²=49.
Igaz vagy hamis: középpontos hasonlóságnál a középpont képe önmaga.
A középpontból önmagába mutató nulla vektor λ-szorosa is nulla.
O=(1;2), λ=2, P=(7;10). Add meg P′ koordinátáit!
OP=(6;8); P′=O+2OP=(13;18).
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.