Egyenletek és egyenlőtlenségek · 61. lecke
Határozd meg a tartományt, különítsd el a gyököt, és szűrd ki a hamis gyököket.
A négyzetgyök alatt nemnegatív kifejezés állhat, és a négyzetgyök értéke is nemnegatív. A √(x+2)=x egyenletben x≥−2 szükséges a gyökjel miatt, de az egyenlőséghez x≥0 is kell. A két feltétel együtt x≥0. Ezek gyakran már a négyzetre emelés előtt kizárnak jelölteket.
Először rögzítsd a feltételeket. Rendezd úgy az egyenletet, hogy a gyökös tag önmagában álljon. Négyzetre emelés után oldd meg a kapott egyenletet, majd az eredeti egyenletbe helyettesíts. A √A+B egész négyzetében 2B√A is szerepelne, ezért a gyök elkülönítése egyszerűbbé és biztonságosabbá teszi az eljárást.
A √(x+2)=x egyenlet a két függvény grafikonjának metszéspontjait keresi. A négyzetre emelés után a √(x+2)=−x lehetséges metszései is belekerülhetnek a jelöltek közé. A grafikon segít megérteni a hamis gyököt, de a pontos értéket és érvényességet számítással ellenőrizzük. Két gyökös tagnál újabb négyzetre emelés lehet szükséges.
Változtasd a paramétereket! Figyeld az alapfüggvényt (szürke) és az átalakított grafikont (kék).
1 · (x − (0))² + (0)
A rajzolt ablak: −9 ≤ x ≤ 9 és −10 ≤ y ≤ 10. A görbe az ablakon túl is folytatódhat. Az értelmezési tartomány az összes valós szám.
1. példa
Oldd meg √(x+2)=x-t!
2. példa
Oldd meg √(2x+1)+1=4-et!
3. példa
Oldd meg √(x+1)+√(x−2)=3-at!
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
√(x+5)=3 megoldása?
x+5=9, így x=4, és √9=3.
√(x+6)=x összes valós gyöke?
x≥0; x²−x−6=0 jelöltjei 3,−2. Csak 3 jó.
√(x+1)=−2. Írd a megoldást!
A négyzetgyök sosem negatív.
√(3x+4)−2=3 megoldása?
√(3x+4)=5, 3x+4=25, x=7. Ellenőrizve 5−2=3.
Oldd meg: √(x+4)=7.
x+4=49 → x=45. Behelyettesítve √49=7.
Oldd meg: √(2x+4)=6.
2x+4=36; x=16. A gyök alatti érték 36, tehát megengedett.
Hány valós megoldása van √(x+4)=−7-nek?
A valós négyzetgyök nemnegatív, a jobb oldal negatív.
√(x−4) értelmezési tartományának legkisebb eleme?
x−4≥0 → x≥4.
Oldd meg: √(x+2)=x.
x≥0; x+2=x² → (x−2)(x+1)=0. A −1 kizárt, x=2 ellenőrizhető.
Igaz vagy hamis: gyökös egyenlet négyzetre emelése után minden kapott gyök elfogadható.
A négyzetre emelés idegen gyököt adhat; mindig az eredeti egyenletben ellenőrizzük.
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.