Egyenletek és egyenlőtlenségek · 60. lecke
Ismerd fel a megoldáshalmazt megőrző és azt megváltoztató átalakításokat.
Két egyenlet ugyanazon alaphalmazon ekvivalens, ha pontosan ugyanazok a megoldásai. Az x²=9 és |x|=3 a valós számokon ekvivalens, de az x=3 csak az egyik gyököt tartalmazza. Az alaphalmaz lényeges: nemnegatív valós számokon már ugyanazt a megoldást adják. A megoldást mindig az eredeti feltételekkel együtt értelmezzük.
Mindkét oldalhoz ugyanazt az értelmezett kifejezést hozzáadva, vagy ugyanazzal a nem nulla számmal szorozva nem változik a megoldáshalmaz. Változós kifejezéssel osztásnál ellenőrizni kell, hogy nem nulla-e. Az x(x−2)=0 egyenletet x-szel elosztva elveszítenénk az x=0 megoldást. Ilyenkor a nulla esetét külön vizsgáljuk.
A=B maga után vonja A²=B²-t, de a fordított állítás általában hamis: A és B lehet ellentett is. Négyzetre emelés után ezért hamis gyök keletkezhet. Ha biztosan mindkét oldal nemnegatív, akkor a négyzetre emelés már ekvivalens. A helyes ellenőrzés az eredeti egyenletbe helyettesít, nem csak az utoljára kapottba.
1. példa
Oldd meg x(x−4)=0-t!
2. példa
Az x−1=3 egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.
Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.
Az x²=16 összes valós gyöke?
A pozitív és negatív négyzetgyök is teljesíti.
Az x(x−5)=0 összes valós gyöke?
Mindkét tényező nullává tehető.
A négyzetre emelés mindig ekvivalens. Igaz vagy hamis?
Ellentett számok négyzete is egyenlő.
Az x−2=5 egyenlet gyöke?
x=7; ellenőrizve 7−2=5.
Oldd meg: 3(x−2)=18.
Osztva 3-val: x−2=6; x=8.
Igaz vagy hamis: x=−3 és x²=9 ekvivalens egyenletek.
A második egyenletnek x=3 is gyöke; a négyzetre emelés bővítette a megoldáshalmazt.
=1 egyenletnél mely x kizárt?
x=3-nál nulla a nevező. Minden más valós szám megoldás.
Oldd meg: (x−3)(x−6)=0.
Legalább egyik tényező nulla, így x=3 vagy x=6.
Igaz vagy hamis: az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a valós számot adva a megoldáshalmaz nem változik.
Az átalakítás kivonással visszafordítható.
Oldd meg: x²=3x.
x(x−3)=0 → x=0 vagy x=3. Az x-szel osztás elveszítené a nulla gyököt.
Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.