Statisztika és valószínűségszámítás · 55. lecke

Véletlen? – Relatív gyakoriság

Végezz kísérletet, és különítsd el a mért arányt az elméleti valószínűségtől.

Értsd meg!

Gyakoriság és relatív gyakoriság

A gyakoriság megmondja, hányszor következett be egy esemény. Relatív gyakorisága a gyakoriság és kísérletszám hányadosa. Ha 80 dobásból 37 fej, az arány $\frac{37}{80}$ =0,4625. Ez a konkrét megfigyelés jellemzője; a szabályos érme elméleti fejvalószínűsége továbbra is $\frac{1}{2}$ .

100 kísérletből 35 sikeres és 65 sikertelen. A relatív gyakoriságok 35/100=0,35 és 65/100=0,65; összegük 1. Ezek megfigyelt arányok, nem automatikusan az elméleti valószínűségek. — 100 kísérletből 35 sikeres és 65 sikertelen. A relatív gyakoriságok $\frac{35}{100}$ =0,35 és $\frac{65}{100}$ =0,65; összegük 1. Ezek megfigyelt arányok, nem automatikusan az elméleti valószínűségek.

Sok ismétlés

Független, azonos feltételekkel végzett kísérletekben nagy ismétlésszám mellett az arány általában az elméleti valószínűség körül stabilizálódik. Nem követelmény, hogy minden új dobással közelebb kerüljön hozzá, vagy pontosan egyenlő legyen vele. Öt egymást követő fej után a következő dobás fejvalószínűsége szabályos, független dobásnál nem változik.

Adatok összevonása

Több csoport kísérleteinek összesítésénél a gyakoriságokat és kísérletszámokat külön összeadjuk. Különböző hosszúságú kísérletsorozatok arányait nem egyszerűen átlagoljuk. A kísérleti eredményeket táblázattal és diagrammal mutathatjuk be. Három érme esetén a megkülönböztetett F/I sorozatok nyolcan vannak, a fejek darabszáma szerinti csoportok viszont nem egyforma esélyűek.

Minden ágon 1/2 a feltételes esély. Minden teljes út valószínűsége 1/2·1/2=1/4. A pontosan egy fejhez FI és IF tartozik, ezért az esély 2/4=1/2. — Minden ágon $\frac{1}{2}$ a feltételes esély. Minden teljes út valószínűsége $\frac{1}{2}$ · $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$ . A pontosan egy fejhez FI és IF tartozik, ezért az esély $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ .

Amit érdemes megjegyezni

Relatív gyakoriság= $\frac{k}{N}$ .
Az új dobás nem „kompenzálja” az előző eredményeket.

Nézd meg, próbáld ki!

Két kocka: 36 egyenlő esélyű rendezett pár

Keresett pontösszeg

Sor: első kocka; oszlop: második. A kiemelt cellák pontösszege 7.
1. / 2.	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7, kedvező
2	3	4	5	6	7, kedvező	8
3	4	5	6	7, kedvező	8	9
4	5	6	7, kedvező	8	9	10
5	6	7, kedvező	8	9	10	11
6	7, kedvező	8	9	10	11	12

Elméleti valószínűség: $\frac{6}{36}$ = 0,1667.

Indíts kísérletet, és hasonlítsd össze a mért arányt az elméleti értékkel!

A szimuláció szabályos, független dobásokat modellez. A kísérleti arány nem feltétlenül kerül minden futásnál közelebb az elméletihez.

Kidolgozott példák

1. példa

Kísérleti arány

120 dobásból 66 fej lett. Mennyi a relatív gyakoriság?

$\frac{66}{120}$ =0,55.
Százalékban 55%.
Ez nem bizonyítja önmagában, hogy az érme szabálytalan.

2. példa

Két mérés együtt

40 dobásból 18 fej, 60 dobásból 33 fej.

Összesen 100 dobás és 51 fej.
Az együttes relatív gyakoriság 0,51.
A 0,45 és 0,55 egyszerű átlaga 0,50 lenne, de a csoportok nem azonos méretűek.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

200 kísérletből 74 siker. Mennyi a relatív gyakoriság?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

$\frac{74}{200}$ =0,37.

2. feladat

250 kísérletben 0,24 relatív gyakoriság. Hány siker volt?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

250·0,24=60.

3. feladat

Négy fej után egy szabályos, független érmedobás fejvalószínűsége?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

A következő dobás valószínűsége $\frac{1}{2}$ .

4. feladat

30 dobásból 12 fej, 70-ből 38 fej. Mennyi az összesített relatív gyakoriság?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

$\frac{12 + 38}{30 + 70}$ =0,5.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

80 kísérletből 28 sikeres. Mennyi a relatív gyakoriság?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

$\frac{28}{80}$ = $\frac{7}{20}$ =0,35.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

400 dobásnál a fej relatív gyakorisága 0,48. Hány fej volt?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

k=0,48·400=192.

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

40 kísérletből 16, majd 120 kísérletből 48 sikeres. Mennyi az egyesített relatív gyakoriság?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

$\frac{16 + 48}{40 + 120}$ =0,4.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Igaz vagy hamis: öt fej után szabályos, független érmedobásnál az írás esélye nagyobb $\frac{1}{2}$ -nél.

Válaszod

Megoldás és magyarázat

A következő dobás az előzőektől független, esélye továbbra is $\frac{1}{2}$ .

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

80 kísérletből 28 sikeres. Mennyi a sikertelenség relatív gyakorisága?

Válaszod

Megoldás és magyarázat

1−0,35=0,65; a két esemény egymás ellentéte.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Igaz vagy hamis: a kísérletszám növelésével a relatív gyakoriság minden lépésben közelebb kerül az elméleti esélyhez.

Válaszod

Megoldás és magyarázat

Hosszú távú stabilizálódásról beszélünk; az ingadozások nem szűnnek meg minden egyes lépésben.

Véletlen? – Relatív gyakoriság

Értsd meg!

Gyakoriság és relatív gyakoriság

Gyakoriság és relatív gyakoriság ugyanabból a mintából

Sok ismétlés

Adatok összevonása

Két független érmedobás faábrája

Amit érdemes megjegyezni

Nézd meg, próbáld ki!

Két kocka: 36 egyenlő esélyű rendezett pár

Kidolgozott példák

Kísérleti arány

Két mérés együtt

Ellenőrizd magad!

1. feladat

2. feladat

3. feladat

4. feladat

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Visszajelzés erről a leckéről