Matematika · II. kötet

Egybevágóság és kör · 48. lecke

Gyakorlás – összetett körfeladatok

Bontsd részekre az összetett ábrákat, és indokold a számítások lépéseit.

Értsd meg!

Ábra felbontása

Összetett területnél az egészből kivonjuk a hiányzó részeket, vagy az egymást nem fedő részeket összeadjuk. Négyzetből kivágott körnél a kör átmérője lehet a négyzet oldala. A középpontokhoz húzott sugarakból gyakran derékszögű háromszög keletkezik. A rajz arányai helyett mindig a megadott adatokat használd.

Körgyűrű: a belső körlap kivonása

A színezett gyűrű területe a nagy körlap területe mínusz a kis körlapé. Az R−r szélesség négyzete nem a gyűrű területe. A képlet π(R²−r²).
A színezett gyűrű területe a nagy körlap területe mínusz a kis körlapé. Az R−r szélesség négyzete nem a gyűrű területe. A képlet π(R²−r²).

Mértékegység és pontosság

A mm, cm és m átváltása területnél négyzetesen változik: 1 cm²=100 mm². A pontos π-s vagy gyökös alakot az utolsó sorig őrizd meg. Két kerekített terület különbsége jelentősen pontatlan lehet, ha a területek közel vannak egymáshoz. Ha közelítő választ kérünk, jelezzük a kívánt tizedeshelyet.

Kiegészítés – π és állandó szélesség

A π nem véges tizedestört, ezért egy kör kerületének pontos általános leírásához π szerepel. Egy állandó szélességű görbe nem feltétlenül kör: például a Reuleaux-háromszög három körívből áll. A körlap területképletét ilyen alakzatra nem szabad automatikusan használni. Az állandó szélesség és az állandó középponttávolság különböző tulajdonság.

Középponti és kerületi szög ugyanazon íven

Az A és B közötti kisebb ívhez tartozó középponti szög 90°. A C pont a másik íven van, így az ACB kerületi szög 45°. A szög felezése csak az ugyanazon kijelölt ívhez tartozó szögekre vonatkozik.
Az A és B közötti kisebb ívhez tartozó középponti szög 90°. A C pont a másik íven van, így az ACB kerületi szög 45°. A szög felezése csak az ugyanazon kijelölt ívhez tartozó szögekre vonatkozik.

Amit érdemes megjegyezni

  • Területátváltáskor a hosszúsági váltószám négyzetével számolj.
  • A kivonandó és hozzáadandó részeket külön színezd.

Kidolgozott példák

1. példa

Négyzet és kör

Egy 12 cm oldalú négyzetből kivágjuk a beírt körlapot. Mennyi marad?

  1. A négyzet területe 144 cm².
  2. A kör sugara 6 cm, területe 36π cm².
  3. A maradék 144−36π≈30,90 cm².

2. példa

Húr távolsága

Egy 10 cm sugarú körben egy húr 16 cm hosszú. Milyen messze van a középponttól?

  1. A középpontból a húrra állított merőleges felezi a húrt.
  2. A félhúr 8 cm, a sugár az átfogó.
  3. Távolság √(100−64)=6 cm.

Ellenőrizd magad!

Először önállóan dolgozz! A válaszmezőben törtet billentyűzettel így adhatsz meg: „1/2”, tizedest vesszővel vagy ponttal. Több eredményt pontosvesszővel válassz el (például: 2; 3). Ha a kérdés sorrendet ad meg, kövesd azt. Intervallumot például így írhatsz: [2;3]. Ha a feladat a π együtthatóját kéri, csak a számot add meg. Logikai kérdésnél az „igaz” és „hamis” szavakat is használhatod.

Helyesen megoldva: 0 / 10

1. feladat

Hány mm² 3,5 cm²?

Megoldás és magyarázat

3,5·100=350.

2. feladat

r=13 cm, a húr hossza 24 cm. Hány cm a középpont–húr távolság?

Megoldás és magyarázat

√(13²−12²)=5.

3. feladat

Két kör területe 64π és 25π cm². Mennyi a különbség π-vel osztva?

Megoldás és magyarázat

64−25=39.

4. feladat

Minden állandó szélességű síkidom körlap. Igaz vagy hamis?

Megoldás és magyarázat

A Reuleaux-háromszög ellenpélda.

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

r=4 cm. Mennyi a kerület π együtthatója?

Megoldás és magyarázat

K=2πr=8π cm, a kért együttható 8.

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

d=8 cm. Mennyi a terület π együtthatója?

Megoldás és magyarázat

r=d2=4; T=16π cm².

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Az ív a teljes kör 212 része. Hány fok a középponti szöge?

Megoldás és magyarázat

α=360·212=60°.

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Az ívhossz 8 cm, a sugár 4 cm. Mennyi a körcikk területe cm²-ben?

Megoldás és magyarázat

T=ir2=8·42=16.

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Hány átlója van egy konvex 6-szögnek?

Megoldás és magyarázat

6·6−32=9.

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Egy húrnégyszög egyik szöge 62°. Hány fokos a szemközti?

Megoldás és magyarázat

A szemközti szögek összege 180°; 180−62=118.

Visszajelzés erről a leckéről

Mennyire volt hasznos? Az értékelést és a megjegyzést csak a tanár látja.

Értékelés, 1–5

Név és e-mail-cím megadása nem szükséges. Más tanulók értékelései és megjegyzései nem jelennek meg ezen az oldalon.