Középponti szög, körív, körcikk

A kör egy része

Két sugár a körvonalat két ívre, a körlapot két körcikkre osztja. A középponti szög csúcsa a kör középpontja. Meg kell mondani, melyik ívet és melyik szöget vizsgáljuk: ugyanaz a két sugár például 80°-os és 280°-os tartományt határol. A teljes kör 360°, ezért az α fokos körcikk az egész ${\displaystyle \frac{\alpha }{360}}$ része.

Ívhossz és terület

Az ívhossz i=(${\displaystyle \frac{\alpha }{360}}$)·2πr, a körcikk területe T=(${\displaystyle \frac{\alpha }{360}}$)·πr². Azonos körben mindkettő a szöggel egyenesen arányos. A körcikk kerülete viszont nem az ívhossz: a két határoló sugarat is hozzá kell adni, ezért K=i+2r egy valódi, 0° és 360° közötti körcikknél. A körszeletet egy húr és egy ív határolja, nem két sugár.

Fordított gondolkodás

Ha az ívhossz és r ismert, az ${\displaystyle \frac{\alpha }{360}}$=${\displaystyle \frac{i}{2\pi r}}$ arányból számíts. Ha a körcikk területe ismert, ${\displaystyle \frac{\alpha }{360}}$=${\displaystyle \frac{T}{\pi r^2}}$. Az i és T képletét összehasonlítva T=${\displaystyle \frac{ir}{2}}$ is adódik. Ez akkor alkalmazható, ha az ívhossz és a hozzá tartozó sugár azonos hosszúságegységben van.

1. példa

60°-os szektor

r=12 cm, α=60°. Határozd meg az ívet, a területet és a kerületet!

1. Az egész kör ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ részét vizsgáljuk.
2. i=${\displaystyle \frac{24\pi }{6}}$=4π cm, T=${\displaystyle \frac{144\pi }{6}}$=24π cm².
3. K=24+4π cm≈36,57 cm.

2. példa

Mekkora a szög?

r=9 cm mellett az ívhossz 3π cm.

1. A teljes kerület 18π cm.
2. Az ív az egész ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ része.
3. α=${\displaystyle \frac{360}{6}}$=60°; T=3π·${\displaystyle \frac{9}{2}}$=13,5π cm².

1. feladat

r=10 cm, α=90°. Mennyi az ívhossz π-vel osztva?

2. feladat

r=8 cm, α=45°. Mennyi a terület π-vel osztva?

3. feladat

Egy körív a teljes kerület ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ része. Hány fok a szöge?

4. feladat

Az ívhossz 6 cm, a sugár 5 cm. Hány cm² a körcikk területe?

5. feladatBővítő gyakorlás · Alap

r=7 cm, α=90°. Mennyi az ívhossz π együtthatója?

6. feladatBővítő gyakorlás · Alap

r=7 cm, α=60°. Mennyi a körcikk területének π együtthatója?

7. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Az ív a teljes kör ${\displaystyle \frac{5}{12}}$ része. Hány fok a középponti szöge?

8. feladatBővítő gyakorlás · Alkalmazás

Az ívhossz 14 cm, a sugár 7 cm. Mennyi a körcikk területe cm²-ben?

9. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

r=7 cm és az ívhossz 21 cm. Mennyi a körcikk kerülete cm-ben?

10. feladatBővítő gyakorlás · Gondolkodtató

Egy kerék percenként 60 fordulatot tesz. Hány fokot fordul 1 másodperc alatt?